二次函数与一次函数的综合应用知识点题库

如图，已知抛物线y₁=﹣x²+1，直线y₂=﹣x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y₁ ， y₂ ．若y₁≠y₂ ，取y₁ ， y₂中的较小值记为M；若y₁=y₂ ，记M=y₁=y₂ ．例如：当x=2时，y₁=﹣3，y₂=﹣1，y₁＜y₂ ，此时M=﹣3．下列判断中：

①当x＜0时，M=y₁；

②当x＞0时，M随x的增大而增大；

③使得M大于1的x值不存在；

④使得M= $\text{[math]}$ 的值是﹣ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，

其中正确的个数有（　　）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

如图，二次函数y=x²+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒．

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；

（3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点，请直接写出N点的坐标．

已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于（0， $\text{[math]}$ ），点A坐标为（﹣1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．

（1）求该抛物线的函数关系表达式．
（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．
（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在请说明理由．

如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；
（3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．在同一平面直线坐标系中

（1）若函数 $\text{[math]}$ 的图象过点 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的图象过点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值．
（2）若函数 $\text{[math]}$ 的图象经过 $\text{[math]}$ 的顶点．
①求证： $\text{[math]}$ ．
②当 $\text{[math]}$ 时，比较 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小．

二次函数y=（m+1）x²﹣2（m+1）x﹣m+3．

（1）求该二次函数的对称轴；
（2）过动点C（0，n）作直线l⊥y轴，当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n关于m的函数表达式；
（3）若对于每一个给定的x值，它所对应的函数值都不大于6，求整数m．

如图，已知点B的坐标为（1，3），点C的坐标为（1.0），直线y=x+k是经过点B，且与x轴交于点A，将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD．

（1）填空:A点坐标为，D点坐标为;
（2）若抛物线y= $\text{[math]}$ x²+bx+c经过C、D两点，求b、c的值：
（3）将（2）中的抛物线沿y轴向上平移，设平移后所得抛物线与y轴交点为E，点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点，在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得真线EM∥x轴?若存在，此时抛物线向上平移了几个单位长度?若不存在，请说明理由。

某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过xmin时，A、B两组材料的温度分别为y_A℃、y_B℃，y_A、y_B与x的函数关系式分别为y_A＝kx+b，y_B＝ $\text{[math]}$ （x﹣60）²+m（部分图象如图所示），当x＝40时，两组材料的温度相同．

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（1）分别求y_A、y_B关于x的函数关系式；
（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？
（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？

综合与探究

在平面直角坐标系中，抛物线y＝ $\text{[math]}$ x²+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB ，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．

（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB的函数解析式为，点M的坐标为，cos∠ABO＝；
连接OC ，若过点O的直线交线段AC于点P ，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为；
（3）在y轴上找一点Q ，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q ，连接AM、AQ ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；
（4）在坐标平面内是否存在点N ，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

已知二次函数y＝x²+bx+c.

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(Ⅰ)若二次函数的图象经过(3，﹣2)，且对称轴为x＝1，求二次函数的解析式；

(Ⅱ)如图，在(Ⅰ)的条件下，过定点的直线y＝﹣kx+k﹣4(k≤0)与(1)中的抛物线交于点M，N，且抛物线的顶点为P，若△PMN的面积等于3，求k的值；

(Ⅲ)当c＝b²时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式.

如图，一次函数y=-x与二次函数y=ax²+bx+c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax²+(b+1)x+c=0的根的情况是( )

A . 有两个不相等的实数根 B . 有两个相等的实数根 C . 没有实数根 D . 无法确定

函数 $\text{[math]}$ 的函数图象分别交x轴、y轴于A,C两点.

（1）求A,C两点的坐标.
（2）在x轴上找出点B,使△ACB∽△AOC,求B的坐标,若抛物线经过A.B.C三点,求出抛物线的函数解析式.
（3）若在（2）的条件下,设动点P、Q分别从A、B两点同时出发,以相同的速度沿AC、BA向C、A运动,连结PQ,设AP=m.问是否存在m,使以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出所有m的值;若不存在说明理由

平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+3交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（1，0），与y轴交于点C，点D为顶点.

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（1）求抛物线的解析式和tan∠DAC；
（2）点E是直线AC下方的抛物线上一点，且S_△ACE＝2S_△ACD ，求点E的坐标；
（3）如图2，若点P是线段AC上的一个动点，∠DPQ＝∠DAC，DP⊥DQ，则点P在线段AC上运动时，D点不变，Q点随之运动.求当点P从点A运动到点C时，点Q运动的路径长.

某公司计划组织员工去武夷山风景区三日游，人数估计在 $\text{[math]}$ 人.已知某旅行社的收费方案为：如果人数超过20人且不超过30人，人均收费为1000元；如果超过30人且不超过50人，则每增加1人，人均收费降低10元.设该公司旅游人数为x（人），人均收费为y（元）.

（1）求y与x之间的关系式；.
（2）若旅行社此次带团的导游工资和车辆等固定成本为6000元，游客的吃住和门票等其他成本为600元/人.请你分析：旅行社带团接待旅游人数多少人时，旅行社所获利润w（元）最大，最大利润是多少？（利润＝总收费－固定成本－其他成本）

在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴分别交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且顶点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 的上方，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

已知二次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数）．

（1）若其图象与 $\text{[math]}$ 轴有两个交点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（2）求其图象与直线 $\text{[math]}$ 交点的横坐标．

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）交x轴于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴交x轴于E点，且OB＝OC.

（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BD，抛物线上是否存在点F，使 $\text{[math]}$ ？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，点P是直线 $\text{[math]}$ 上的动点（点P不在抛物线的对称轴上），过点P的两条直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与抛物线均只有唯一公共点，且都不与y轴平行， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交抛物线的对称轴于点M、N，点G为抛物线对称轴上点M、N下方一点，且总满足 $\text{[math]}$ ，求点G的坐标.

如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称，且与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点A， $\text{[math]}$ .

（1）求出 $\text{[math]}$ 的解析式，并试猜想出与一般形式的二次函数 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称的二次函数的解析式（不要求证明）；
（2）若 $\text{[math]}$ 的中点是点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
（3）若过点 $\text{[math]}$ 的一条直线与 $\text{[math]}$ 的图象交于另一点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数）求点 $\text{[math]}$ 的坐标.

如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的表达式，并直接写出 $\text{[math]}$ 所在直线的表达式．
（2）点 $\text{[math]}$ 为第四象限内抛物线上一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值及此时点 $\text{[math]}$ 的坐标．
（3）设点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 所在直线上一点，且点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ．是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 为等腰三角形？若存在，直接写出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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