待定系数法求二次函数解析式知识点题库

抛物线y=ax（x﹣2）经过坐标原点O，与x轴相交于另外一点A，顶点B在直线y=x上；

（1）如图1，求a值；
（2）如图2，点C为抛物线上第四象限内一点，连接OC与对称轴相交于点D，过点C作x轴平行线，与对称轴相交于点E，与抛物线相交于点F，若BD=DE，求点C坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点M在线段OF上，连接并延长CM至点R，点N在第一象限的抛物线上，连接CN，EN，且CN=CM=RN，当∠CNR=4∠FCM时，求点N坐标．

在直角坐标系中，点A是抛物线y=x²在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA，OB为边构造矩形AOBC．

（1）如图1，当点A的横坐标为时，矩形AOBC是正方形；
（2）如图2，当点A的横坐标为 $\text{[math]}$ 时，
①求点B的坐标；
②将抛物线y=x²作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=﹣x² ，试判断抛物线y=﹣x²经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．

如图，二次函数y=ax²+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax²+bx=0的根是．

如图，直线y＝－ $\text{[math]}$ x+4与x轴交于点A ，与y交于点C ，已知二次函数的图象经过点A ， C和点B（－1，0），

（1）求该二次函数的关系式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM的面积；
（3）有两个动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当点D、E两点相遇时，它们都停止运动，设D ， E同时从点O出发t秒时，△ODE的面积为S ，
①请问D ， E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC ，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由；
②直接写出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
③在②中，当t是多少时，S有最大值，并求出这个最大值.

如图，在平面角坐标系中，抛物线C₁：y=ax²+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C₂：y=2x²+x+1，动直线x=t与抛物线C₁交于点N，与抛物线C₂交于点M．

（1）求抛物线C₁的表达式；
（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；
（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；
（4）在（3）的条件下，设抛物线C₁与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C₂上，连接AM交y轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．

如图，已知开口向下的抛物线y₁=ax²-2ax+1经过点A（m，1），与y交于点C，顶点为B，将抛物线y₁绕点C旋转180°后得到抛物线y₂,点A、B的对应点D、E

（1）直接写出A、C、D的坐标
（2）当四边形ABDE是矩形时，求a的值及抛物线y₂的表达式。
（3）在（2）的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线l⊥x轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒。求S与t的函数关系式。

如图，在平面直角坐标系中2条直线为l₁:y=-3x+3，2：y=-3x+9，直线l₁交x轴于点A，交y轴于点B，直线l₂交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l₂于点C，点A、E关于y轴对称，抛物线y=ax²+bx+c过E、B、C三点，下列判断中：

①a-b+c=0；②2a+b+c=5；③抛物线关于直线x=1对称；④抛物线过点（b，c）；⑤S_{四边形ABCD}=5．其中正确的个数有（）

A . 5 B . 4 C . 3 D . 2

如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx-5与x轴交于A(-1，0)，B(5，0)两点，与y轴交与点C.

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（1）求抛物线的函数表达式;
（2）若点D是y轴上的点，且以B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标;
（3）如图2，CE//x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC、CE分别相交于点F，G，试探求当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积.

二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于 $\text{[math]}$ 、B两点，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，其顶点为D.

图片_x0020_4

（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求 $\text{[math]}$ 的面积.

一个二次函数图象的顶点坐标为（-1,2），于y轴交点的纵坐标为 $\text{[math]}$

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（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（3）已知两点A（-2020，a），B（2019，b）在此二次函数图象上，请比较a与b的大小。ab（用＞，＝或＜填空）
（4）根据图像，当-2＜x＜2时，请直接写出y的取值范围

已知二次函数y=ax²+bx+c图象的对称轴为y轴，且过点(1，2)，(2，5).

图片_x0020_1480959926

（1）求二次函数的解析式；
（2）如图，过点E(O，2)的一次函数图象与二次函数的图象交于A，B两点（A点在B点的左侧），过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D。
①当CD=3时，求该一次函数的解析式；

②分别用S₁ ， S₂ ， S₃表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，问是否存在实数t，使得 $\text{[math]}$ =tS₁S₃ ，都成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由。

如图，已知抛物线y＝﹣ $\text{[math]}$ x²+bx+c与x轴交于原点O和点A（6，0），抛物线的顶点为B．

（1）求该抛物线的解析式和顶点B的坐标；
（2）若动点P从原点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿线段OB运动，设点P运动的时间为t（s）．问当t为何值时，△OPA是直角三角形？
（3）若同时有一动点M从点A出发，以2个长度单位的速度沿线段AO运动，当P、M其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t（s），连接MP，当t为何值时，四边形ABPM的面积最小？并求此最小值．

如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ 两点(点A位于点B的左侧)，与y轴的负半轴交于点C．

（1）求点B的坐标．
（2）若 $\text{[math]}$ 的面积为6．
①求这条抛物线相应的函数解析式．

②在拋物线上是否存在一点P使得 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x²﹣2x+b的顶点在x轴上，P（p ， m），Q（q ， m）（p＜q）是抛物线上的两点．

（1）当m＝b时，求p ， q的值；
（2）将抛物线沿y轴平移，使得它与x轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程．

已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点（1,0）和（0,2）.

（1）求b,c的值；
（2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（3）已经点P(m,n)在该函数的图象上，且 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标.

如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与轴交于点B，过A、B两点作一条抛物线y＝﹣x²+bx+c，L是抛物线的对称轴.

（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在对称轴L是否存在点P，使 $\text{[math]}$ 为等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，求点P的坐标.

如图，已知抛物线y＝ $\text{[math]}$ x²+m与y轴交于点C ，直线y＝﹣ $\text{[math]}$ x+4与y轴和x轴分别交于点A和点B ，过点C作CD⊥AB ，垂足为点D ，设点E在x轴上，以CD为对角线作▱CEDF ．

（1）当点C在∠ABO的平分线上时，求上述抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下，如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，求点F的坐标；
（3）如果点E是BO的中点，且▱CEDF是菱形，求m的值．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线 $\text{[math]}$ ，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求抛物线的解析式.
（2）在抛物线上是否存在点Q，使得 $\text{[math]}$ 是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）设抛物线上的一点 $\text{[math]}$ 的横坐标为m，且在直线BC的下方，求使 $\text{[math]}$ 的面积为最大整数时点P的坐标.

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $\text{[math]}$ 的图像与x轴交于A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C ，且AB＝4．

（1）求这个函数的解析式，并直接写出顶点D的坐标；
（2）点E是二次函数图象上一个动点，作直线 $\text{[math]}$ 轴交抛物线于点F（点E在点F的左侧），点D关于直线EF的对称点为G ，如果四边形DEGF是正方形，求点E的坐标；
（3）若射线AC与射线BD相交于点H ，求∠AHB的大小．

阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式 $\text{[math]}$ 时，关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 有如下关系： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”.此关系通常被称为“韦达定理”.已知二次函数 $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且该二次函数的图象过点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，该二次函数的图象与 $\text{[math]}$ 轴相交于不同的两点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且该二次函数的图象的顶点在矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上，其对称轴与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ .
①求关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的根的判别式的值；
②若 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

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