4.3.2 独立性检验知识点题库

近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，网购成了大众购物的一个重要组成部分，可人们在开心购物的同时，假冒伪劣产品也在各大购物网站频频出现，为了让顾客能够在网上买到货真价实的好东西，各大购物平台也推出了对商品和服务的评价体系，现从某购物网站的评价系统中选出100次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为 $\text{[math]}$ ，对服务的好评率为 $\text{[math]}$ ，其中对商品和服务都做出好评的交易为30次．

（1）列出关于商品和服务评价的2×2列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这100次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率．
P（K²≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（K²= $\text{[math]}$ ，其中n=a+b+c+d）

近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

	患心肺疾病	不患心肺疾病	合计
男	20	5	25
女	10	15	25
合计	30	20	50

（Ⅰ）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？

（Ⅱ）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率；

（Ⅲ）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K² ，你有多大的把握认为心肺疾病与性别有关？

下面的临界值表供参考：

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式 $\text{[math]}$ ，其中n=a+b+c+d）

为了调查每天人们使用手机的时间，我校某课外兴趣小组在天府广场随机采访男性、女性用户各50 名，其中每天玩手机超过6小时的用户列为“手机控”，否则称其为“非手机控”，调查结果如下：

	手机控	非手机控	合计
男性	26	24	50
女性	30	20	50
合计	56	44	100

（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“手机控”与“性别”有关？
（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取5人中“手机控”和“非手机控”的人数；
（3）从（2）中抽取的5人中再随机抽取3人，记这3人中“手机控”的人数为X，试求X的分布列与数学期望．
参考公式： $\text{[math]}$ ．
参考数据：
P（K²≥k₀）
0.50
0.40
0.25
0.05
0.025
0.010
k₀
0.456[
0.708
1.321
3.840
5.024
6.635

通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

	男	女	总计
爱好	40	20	60
不爱好	20	30	50
总计	60	50	110

由 $\text{[math]}$ 算得， $\text{[math]}$ ．

P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

参照附表，得到的正确结论是（）

A . 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B . 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C . 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D . 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

为了解适龄公务员对开放生育二胎政策的态度，某部门随机调查了90位三十岁到四十岁的公务员，得到如下列联表，因不慎丢失部分数据．

（1）完成表格数据，判断是否有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”并说明理由；
（2）已知15位有意愿生二胎的女性公务员中有两位来自省妇联，该部门打算从这15位有意愿生二胎的女性公务员中随机邀请两位来参加座谈，设邀请的2人中来自省妇联的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．

男性公务员
女性公务员
总计
有意愿生二胎

15
45
无意愿生二胎

25

总计

P（k₂≥k₀）
0.050
0.010
0.001
k₀
3.841
6.635
10.828
附： $\text{[math]}$ ．

在吸烟与患肺癌这两个分类变量的独立性检验的计算中,下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ 的观测值为 $\text{[math]}$ ,在犯错误的概率不超过 $\text{[math]}$ 的前提下认为吸烟与患肺癌有关系,那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺癌. B . 由独立性检验可知,在犯错误的概率不超过 $\text{[math]}$ 的前提下认为吸烟与患肺癌有关系时,我们说某人吸烟,那么他有 $\text{[math]}$ 的可能患有肺癌. C . 若从统计量中求出在犯错误的概率不超过 $\text{[math]}$ 的前提下认为吸烟与患肺癌有关系,是指有 $\text{[math]}$ 的可能性使得判断出现错误. D . 以上三种说法都不正确.

某社会研究机构，为了研究大学生的阅读习惯，随机调查某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，其中男女各一半，男生中有 $\text{[math]}$ 表示会读，女生中有 $\text{[math]}$ 表示不会读.

（1）根据调查结果，得到如下2╳2列联表：

	男	女	总计
读营养说明
不读营养说明
总计

（2）根据以上列联表，进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系？

P(K²≥k)

0.10

0.025

0.010

0.005

k

2.706

5.024

6.635

7.879

2018年6月14日，第二十一届世界杯尼球赛在俄罗斯拉开了帷幕，某大学在二年级作了问卷调查,从该校二年级学生中抽取了 $\text{[math]}$ 人进行调查,其中女生中对足球运动有兴趣的占 $\text{[math]}$ ，而男生有 $\text{[math]}$ 人表示对足球运动没有兴趣.

（1）完成 $\text{[math]}$ 列联表,并回答能否有 $\text{[math]}$ 的把握认为“对足球是否有兴趣与性别有关”？

	有兴趣	没有兴趣	合计
男			$\text{[math]}$
女
合计

（2）若将频率视为概率,现再从该校二年级全体学生中,采用随机抽样的方法每饮抽取 $\text{[math]}$ 名学生,抽取 $\text{[math]}$ 次，记被抽取的 $\text{[math]}$ 名学生中对足球有兴趣的人数为 $\text{[math]}$ ，若每次抽取的结果是相互独立的，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.
附:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：

图片_x0020_463262911 图片_x0020_492761129

附：

P(K²≥k)	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg

箱产量≥50kg

旧养殖法

新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。

图片_x0020_1209958836 图片_x0020_881272640

附：

P(K²≥k)	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg

箱产量≥50kg

旧养殖法

新养殖法

在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶甲、乙两村各50户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况.子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查.并把调查结果转化为各户的贫困指标 $\text{[math]}$ .将指标 $\text{[math]}$ 按照 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若 $\text{[math]}$ ，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”，且当 $\text{[math]}$ 时，认定该户为“低收入户”；当 $\text{[math]}$ 时，认定该户为“亟待帮助户".已知此次调查中甲村的“绝对贫困户”占甲村贫困户的24%.

图片_x0020_100008

附： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$	0.15	0.10	0.05	0.025
$\text{[math]}$	2.072	2.706	3.840	5.024

（1）完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关：

	甲村	乙村	总计
绝对贫困户
相对贫困户
总计

（2）某干部决定在这两村贫困指标处于 $\text{[math]}$ 的贫困户中，随机选取3户进行帮扶，用 $\text{[math]}$ 表示所选3户中“亟待帮助户”的户数，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望 $\text{[math]}$ .

为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢和不喜欢两种态度）与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K²=8.01，附表如下：

P（K²≥k₀）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

参照附表，得到的正确的结论是（）

A . 有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关” B . 有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别无关” C . 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢乡村音乐与性别有关” D . 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢乡村音乐与性别无关”

某校高三（1）班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重.为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早､晩读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成如表：

考试分数	$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$	$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$	$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$	$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$	$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$	$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
频数	5	10	15	5	10	5
赞成人数	4	6	9	3	6	4

参考公式及数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$	0.100	0.050	0.025	0.010
$\text{[math]}$	2.706	3.841	5.024	6.635

（1）欲使测试优秀率为30%，则优秀分数线应定为多少分？
（2）依据第1问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.

某外语学校要求学生从德语和日语中选择一种作为“第二外语”进行学习，为了解选择第二外语的倾向与性别的关系，随机抽取100名学生，得到下面的数据表：

	选择德语	选择日语
男生	15	35
女生	30	20

根据表中提供的数据可知（）

附： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$	0.100	0.050	0.010	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

A . 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为选择第二外语的倾向与性别无关 B . 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为选择第二外语的倾向与性别有关 C . 有99.5%的把握认为选择第二外语的倾向与性别无关 D . 有99.5%的把握认为选择第二外语的倾向与性别有关

已知某区 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两所初级中学的初一年级在校学生人数之比为 $\text{[math]}$ ，该区教育局为了解双减政策的落实情况，用分层抽样的方法在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两校初一年级在校学生中共抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：

附表：

$\text{[math]}$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.001
$\text{[math]}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

附： $\text{[math]}$ .

（1）在抽取的100名学生中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两所学校各抽取的人数是多少？
（2）该区教育局想了解学生做作业时间的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和做作业时长超过3小时的学生比例，请根据频率分布直方图，估计这两个数值；
（3）另据调查，这100人中做作业时间超过 $\text{[math]}$ 小时的人中的20人来自 $\text{[math]}$ 中学，根据已知条件填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为“做作业时间超过3小时”与“学校”有关？

做作业时间超过3小时
做作业时间不超过3小时
合计
$\text{[math]}$ 校
$\text{[math]}$ 校
合计

为推行“新课堂”教学法，某老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式在甲、乙两个平行班进行教学实验，为了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，若成绩大于70分为“成绩优良”.

附：K²= $\text{[math]}$ (n=a+b+c+d)，

P(K²≥k₀)	0.10	0.05	0.025	0.010
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635

（1）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”?

甲班
乙班
总计
成绩优良
成绩不优良
总计
（2）从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下(不含60分)的学生中任意选取2人，记ξ为所抽取的2人中来自乙班的人数，求ξ的分布列及数学期望.

2022年是奥运会，我国北京和张家口联合承办第二十四届冬季奥运会，本届冬奥会共设7个大项（滑雪、滑冰、冰球、冰壶、雪车、雪橇、冬季两项）、15个分项（高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪、北欧两项、短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶、雪车、钢架雪车、雪橇、冬季两项）共计109个小项.某校为了调查学生是否喜欢冬季冰雪运动与性别有关，在高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的 $\text{[math]}$ 列联表：

	喜欢	不喜欢	合计
男生	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
女生	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
合计

已知从这200名学生中随机抽取1人，这个人喜欢冰雪运动的概率为0.8，表格中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

参考公式及数据： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
$\text{[math]}$	0.46	0.71	1.32	2.07	2.71	3.84	5.024	6.635	7.879	10.828

（1）完成 $\text{[math]}$ 列联表，并判断是否有90%的把握认为喜欢冰雪运动与性别有关；
（2）从上述喜欢冰雪运动的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再从这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用 $\text{[math]}$ 表示3人中女生的人数，求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望.

下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则事件A，B相互独立 B . 随机变量X服从两点分布，则 $\text{[math]}$ C . 在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 D . 在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数 $\text{[math]}$ 的值越大，说明拟合的效果越好

某校所在省市高考采用新高考模式，学生按“ $\text{[math]}$ ”模式选科参加高考：“3”为全国统一高考的语文、数学、外语3门必考科目；“1”由考生在物理、历史2门中选考1门科目；“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物学4门中选考2门科目．

附： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（1）为摸清该校本届考生的选科意愿，从本届750位学生中随机抽样调查了100位学生，得到如下部分数据分布：

	选物理方向	选历史方向	合计
男生	30		40
女生
合计	50		100

请在答题卡的本题表格中填好上表中余下的5个空，并判断是否有99.9% 的把握认为该校“学生选科的方向”与“学生的性别”有关；

（2）记已选物理方向的甲、乙两同学在“4选2”的选科中所选的相同的选科门数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望．

心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，按分层抽样的方法从数学兴趣小组中抽取50名同学（男30女20），给这些同学每人一道几何题和一道代数题，让每名同学自由选择一道题进行解答，则选题情况如表所示.

	几何题	代数题	总计
男同学	22	8	30
女同学	8	12	20
总计	30	20	50

附：

$\text{[math]}$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

$\text{[math]}$ .

（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间想象能力与性别有关？
（2）现从选择做几何题的8名女同学（包含甲､乙）中任意抽取2名，对这2名女同学的答题情况进行研究，记甲､乙2名女同学被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望 $\text{[math]}$ .

	男性公务员	女性公务员	总计
有意愿生二胎		15	45
无意愿生二胎		25
总计

	做作业时间超过3小时	做作业时间不超过3小时	合计
$\text{[math]}$ 校
$\text{[math]}$ 校
合计

	箱产量＜50kg	箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法

	箱产量＜50kg	箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法

	甲班	乙班	总计
成绩优良
成绩不优良
总计

4.3.2 独立性检验 知识点题库

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