1.2.4 二面角知识点题库

如图甲：⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB= $\text{[math]}$ ， ∠DAB= $\text{[math]}$ ，沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，根据图乙解答下列各题：

（Ⅰ）若点G是 $\text{[math]}$ 的中点，证明：FG∥平面ACD；

（Ⅱ）求平面ACD与平面BCD所成的锐二面角的余弦值．

如图，矩形ABCD所在平面与直角梯形CDEF所在平面互相垂直，其中∠EDC=∠DEF= $\text{[math]}$ ， EF=ED= $\text{[math]}$ CD=1，AD= $\text{[math]}$ ．

（1）若M为AE的中点，求证：EC∥平面BDM；

（2）求平面ADE与平面ACF所成锐二面角的大小．

正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为 $\text{[math]}$ ：2，则其侧面与底面的夹角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

在正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，点D为BC的中点；

（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AC₁D；

（Ⅱ）若点E为A₁C上的点，且满足 $\text{[math]}$ =m $\text{[math]}$ （m∈R），若二面角E﹣AD﹣C的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求实数m的值．

在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，BC= $\text{[math]}$ a，这时二面角B﹣AD﹣C的大小为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

已知点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，3）则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为．

在空间直角坐标系O﹣xyz中，若O（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），C（2，2，2 $\text{[math]}$ ），则二面角C﹣OA﹣B的大小为（）

A . 30° B . 45° C . 60° D . 90°

三棱锥的顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，高是 $\text{[math]}$ ，侧棱长为 $\text{[math]}$ ，那么侧面与底面所成的二面角是( )

A . 60° B . 30° C . 45° D . 75°

如图所示的几何体中， $\text{[math]}$ 垂直于梯形 $\text{[math]}$ 所在的平面， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 为矩形，线段 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

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（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值；
（3）在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小为 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由.

在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ ，侧面 $\text{[math]}$ 为正三角形，且平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

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A . 在棱 $\text{[math]}$ 上存在点M，使 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为90° C . 二面角 $\text{[math]}$ 的大小为45° D . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

多面体 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 上的射影 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点.

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（1）求证: $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ;
（2）若 $\text{[math]}$ ,求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

如图三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，侧面 $\text{[math]}$ 是矩形，侧面 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）设 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

如图，正方形 $\text{[math]}$ 边长为1， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 同侧）， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求 $\text{[math]}$ 的最小值，并求取得最小值时二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2 $\text{[math]}$ ，M、N分别为AB、SB的中点．

（1）证明：AC⊥SB；
（2）求二面角N-CM-B的正切值大小；
（3）求点B到平面CMN的距离．

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD是平行四边形， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 底面ABCD，且 $\text{[math]}$ ， E，F分别为PC，BD的中点．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面PAD；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E为线段 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，直至点 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上.当 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ 的位置时，连接 $\text{[math]}$ ，如图所示，则下列说法正确的是（）

A . 四棱锥 $\text{[math]}$ 体积的最大值为 $\text{[math]}$ B . 设 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ C . 不存在某一翻折位置，使得 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，无论翻折到什么位置，都有 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面ABC， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， M是PA的中点.

（1）证明： $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求平面PBC与平面BCM所成角的大小.

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