题目

如图，正方形边长为1，平面，平面，且（，在平面同侧），为线段上的动点．（1）求证：；（2）求的最小值，并求取得最小值时二面角的余弦值．答案：证明：法一：分别作 AM⊥ 平面 ABCD ， CN⊥ 平面 ABCD ，取 AM=CN=1 ，顺次连接 E ， M ， F ， N ，如图，易得几何体 ABCD−MFNE 为正方体，连接 BD ，∴ BD⊥AC ， ∵ FB⊥ 平面 ABCD ， AC⊂ 平面 ABCD ， ∴ FB⊥AC ，又∵ FB∩BD=B ， FB⊂ 平面 BDEF ， BD⊂ 平面 BDEF ， ∴ AC⊥ 平面 BDEF ，又∵ DF⊂ 平面 BDEF ，∴ AC⊥DF ，同理可证 AE⊥DF ，又∵ AC∩AE=A ， AC⊂ 平面 ACE ， AE⊂ 平面 ACE ， ∴ DF⊥ 平面 ACE ，∵ AG⊂ 平面 ACE ，∴ AG⊥DF ．法二：∵ ED⊥ 平面 ABCD ， AD⊥CD ，故以 D 为原点， DA→ ， DC→ ， DE→ 的正方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系，由题意得， D(0，0，0) ， A(1，0，0) ， B(1，1，0) ， C(0，1，0) ， E(0，0，1) ， F(1，1，1) ， ∵ G 在 CE 上，∴设 CG→=λCE→ （ 0≤λ≤1 ），则有 AG→=AC→+CG→=AC→+λCE→=(−1，1，0)+λ(0，−1，1)=(−1，1−λ，λ) ， DF→=(1，1，1) ， ∵ AG→⋅DF→=(−1，1−λ，λ)⋅(1，1，1)=−1+1−λ+λ=0 ， ∴ AG⊥DF ．解：法一：∵ ED⊥ 平面 ABCD ， AD⊥CD ，故以 D 为原点， DA→ ， DC→ ， DE→ 的正方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系，由题意得， D(0，0，0) ， A(1，0，0) ， B(1，1，0) ， C(0，1，0) ， E(0，0，1) ， F(1，1，1) ， ∵ G 在 CE 上，∴设 CG→=λCE→ （ 0≤λ≤1 ），则有 AG→=AC→+CG→=AC→+λCE→=(−1，1，0)+λ(0，−1，1)=(−1，1−λ，λ) ， BG→=BC→+CG→=BC→+λCE→=(−1，0，0)+λ(0，−1，1)=(−1，−λ，λ) ， AG2+BG2=|AG→|2+|BG→|2=1+(1−λ)2+λ2+1+λ2+λ2 =4λ2−2λ+3=4(λ−14)2+114 ，当且仅当 λ=14 时， AG2+BG2 取得最小值 114 ，此时在平面 ACG 中， AC→=(−1，1，0) ， CE→=(0，−1，1) ，设平面 ACG 的法向量为 m→=(x1，y1，z1) ，则有 {m→⋅AC⇀=0，m→⋅CE⇀=0，即 {−x1+y1=0，−y1+z1=0，设 x1=1 ，得 y1=1 ， z1=1 ， m→=(1，1，1) ，此时在平面 ABG 中， AB→=(0，1，0) ， AG→=(−1，34，14) ，设平面 ABG 的法向量为 n→=(x2，y2，z2) ，则有 {n→⋅AB⇀=0，n→⋅AG⇀=0，即 {y2=0，−x2+34y2+14z2=0，设 x2=1 ，得 y2=0 ， z2=4 ， n→=(1，0，4) ，设二面角 B−AG−C 大小为 θ ，则 |cosθ|=|m→⋅n→|m→||n→||=|1+0+41+1+11+16|=55151 ，由题意可知， θ 为锐角，所以 cosθ=55151 ．法二：由（1）得： BG→=BC→+CG→=BC→+λCE→=(−1，0，0)+λ(0，−1，1)=(−1，−λ，λ) ， AG2+BG2=|AG→|2+|BG→|2=1+(1−λ)2+λ2+1+λ2+λ2 =4λ2−2λ+3=4(λ−14)2+114 ，当且仅当 λ=14 时， AG2+BG2 取得最小值 114 ，此时在平面 ACG 中， AC→=(−1，1，0) ， CE→=(0，−1，1) ，设平面 ACG 的法向量为 m→=(x1，y1，z1) ，则有 {m→⋅AC⇀=0，m→⋅CE⇀=0，即 {−x1+y1=0，−y1+z1=0，设 x1=1 ，得 y1=1 ， z1=1 ， m→=(1，1，1) ，此时在平面 ABG 中， AB→=(0，1，0) ， AG→=(−1，34，14) ，设平面 ABG 的法向量为 n→=(x2，y2，z2) ，则有 {n→⋅AB⇀=0，n→⋅AG⇀=0，即 {y2=0，−x2+34y2+14z2=0，设 x2=1 ，得 y2=0 ， z2=4 ， n→=(1，0，4) ，设二面角 B−AG−C 大小为 θ ，则 |cosθ|=|m→⋅n→|m→||n→||=|1+0+41+1+11+16|=55151 ，由题意可知， θ 为锐角，所以 cosθ=55151

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