2023-2024学年北师大版数学八年级上册7.1为什么要证明 同步练习（提升卷）

“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为S=a+ ﹣1，孔明只记得公式中的S表示多边形的面积，a和b中有一个表示多边形边上（含顶点）的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a还是b表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形（如图1）进行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是，并运用这个公式求得图2中多边形的面积是．

三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”（如图1，并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为 ，斜边长为 的 个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理．

一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法．如图所示，火柴盒的一个侧面ABCD倒下至AB'C'D'的位置，连接CC' ，设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形BCC'D'的面积验证勾股定理：a²+b²=c²

定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．

求证：∠ACD＝∠A＋∠B．

证法1：如图，

∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（三角形内角和定理）

又∵∠ACD＋∠ACB＝180°（平角定义），

∴∠ACD＋∠ACB＝∠A＋∠B＋∠ACB（等量代换）．

∴∠ACD＝∠A＋∠B（等式性质）

证法2：如图，

∵∠A＝88°，∠B＝58°，

且∠ACD＝146°（量角器测量所得）

又∵146°＝88°＋58°（计算所得）

∴∠ACD＝∠A＋∠B（等量代换）

下列说法正确的是（    ）

发现：一个三位数的百位上数字为a，十位上数字为(a+1)，个位上数字为(a＋2)；把这个三位数的百位上数字与个位上的数字交换得到一个新三位数，新三位数与原三位数的差是9的倍数．

验证：

在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（   ）

定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．

证法1：如图， ∵∠A＝70°，∠B＝63°， 且∠ACD＝133°（量角器测量所得） 又∵133°＝70°+63°（计算所得） ∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．

证法2：如图， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理）， 又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义）， ∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）． ∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．

下列说法正确的是（   ）

如图，用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，直角边的长分别为a和b，斜边长为c.可选取若干直角三角形纸板拼图，并根据拼图验证勾股定理. 请画出一种示意图并写出验证过程. 

已知平面内三点 ， ， ．

动手操作：在如图所示的平面直角坐标系中描出A，B，C三点，并连接 ， ；

观察发现：写出 ， 的中点坐标，观察中点坐标与线段两个端点的坐标，你能发现什么规律？

猜想验证：连接 ， 直接写出中点的坐标；

总结应用：已知点 ， ， 写出中点的坐标．

观察并验证下列等式：