人教版数学九年级全册知识点训练营——旋转的奔驰模型及费马点模型

人教版数学九年级全册知识点训练营——旋转的奔驰模型及费马点模型
教材科目：数学
试卷分类：九年级上学期
文件类型：.doc
发布时间：2026-05-01
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以下为试卷部分试题预览

1. 综合题

详细信息

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P为 $\text{[math]}$ 内一点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值，小华的解题思路，以点A为旋转中心，将 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，那么就将求PA+PB+PC的值转化为求PM+MN+PC的值，连接CN，当点P，M落在CN上时，此题可解.

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（1）请判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；
（2）请你参考小华的解题思路，证明PA+PB+PC=PM+MN+PC；
（3）当 $\text{[math]}$ ，求PA+PB+PC的最小值.

2. 综合题

详细信息

阅读下面材料：

张明同学遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

张明同学是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．

（1）请你计算图1中 $\text{[math]}$ 的度数；
（2）参考张明同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，在正方形 $\text{[math]}$ 内有一点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

3. 实践探究题

详细信息

回答下列问题：

（1）如图1，AB＝BC，当∠ABC＝90°时，将△PAB绕B点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形．
（2）在（1）中，若PA＝2，PB＝4，PC＝6，求∠APB的大小．
（3）如图2，∠ABC＝60°，AB＝BC，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则△APC面积是．
（4）如图3，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AC，点P在△ABC内，且PA＝ $\text{[math]}$ ， PB＝5，PC＝2，求△ABC的面积．

4. 阅读理解

详细信息

阅读下面材料，并解决问题：

（1）如图 $\text{[math]}$ 等边 $\text{[math]}$ 内有一点 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 到顶点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的距离分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

为了解决本题，我们可以将 $\text{[math]}$ 绕顶点 $\text{[math]}$ 旋转到 $\text{[math]}$ 处，此时 $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ，这样就可以利用旋转变换，将三条线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 转化到一个三角形中，从而求出 $\text{[math]}$ ；
（2）基本运用
请你利用第 $\text{[math]}$ 题的解答思想方法，解答下面问题：
如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的点且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
（3）能力提升
如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 内一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

5. 实践探究题

详细信息

问题解决
一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P是等边 $\text{[math]}$ 内的一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .你能求出 $\text{[math]}$ 的度数和等边 $\text{[math]}$ 的面积吗?小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
如图①将 $\text{[math]}$ 绕点B逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ 是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得 $\text{[math]}$ 是直角三角形，从而使问题得到解决.

（1）结合小明的思路完成填空： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
（2）类比探究
①.如图②，若点P是正方形 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数和正方形的面积.
②.如图③，若点P是正方形 $\text{[math]}$ 外一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数和正方形的面积.

6. 单选题	详细信息
如图，已知 $\text{[math]}$ ， AB=4，AC=6，点P在 $\text{[math]}$ 内，将 $\text{[math]}$ 绕着点A逆时针方向旋转60°得到 $\text{[math]}$ .则AE+PB+PC的最小值为（） A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

7. 阅读理解

详细信息

阅读下面材料，并解决问题：

（1）如图①，在等边△ABC内有一点P ，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3、4、5，求∠APB的度数；为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数，请你按照这个思路写出求解过程；
（2）能力提升
如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，直接写出OA+OB+OC的值．

8. 阅读理解

详细信息

阅读下面材料，并解决问题：

（1）如图①，在等边 $\text{[math]}$ 内有一点 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 到顶点 $\text{[math]}$ 的距离分别为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；为了解决本题，我们可以将 $\text{[math]}$ 绕顶点 $\text{[math]}$ 旋转到 $\text{[math]}$ 处，此时 $\text{[math]}$ ，这样就可以利用旋转变换，将三条线段 $\text{[math]}$ 转化到一个三角形中，从而求出 $\text{[math]}$ 的度数，请你按照这个思路写出求解过程；
图①
（2）能力提升
如图②，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 内一点，连接 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．
图②

9. 阅读理解

详细信息

阅读下面材料，并解决问题：

（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP^'处，此时△ACP^'≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ ▲ ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF²＝BE²+FC²；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．

10. 填空题	详细信息
如图，点D是等边△ABC内部的一点，∠ADC＝120°，AB²＝19， $\text{[math]}$ ，则线段BD的长度是．

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以下为试卷部分试题预览

回答下列问题：

阅读下面材料，并解决问题：

如图，已知 ， AB=4，AC=6，点P在内，将绕着点A逆时针方向旋转60°得到.则AE+PB+PC的最小值为（ ）

阅读下面材料，并解决问题：

阅读下面材料，并解决问题：

阅读下面材料，并解决问题：

如图，点D是等边△ABC内部的一点，∠ADC＝120°，AB2＝19， ， 则线段BD的长度是．

如图，已知 $\text{[math]}$ ， AB=4，AC=6，点P在 $\text{[math]}$ 内，将 $\text{[math]}$ 绕着点A逆时针方向旋转60°得到 $\text{[math]}$ .则AE+PB+PC的最小值为（）

如图，点D是等边△ABC内部的一点，∠ADC＝120°，AB²＝19， $\text{[math]}$ ，则线段BD的长度是．