题目

已知几何体A―BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小;（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQBQ并说明理由（一、二、五中必做，其它学校选做）.              答案：解析：（1）由该几何体的三视图知面,且EC=BC=AC=4 ，BD=1，∴∴．即该几何体的体积V为16．      -----------3分（2）解法1:过点B作BF//ED交EC于F，连结AF，则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．-------5分在△BAF中，∵AB=，BF=AF=．∴．即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．------------------------------------------7分解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）∴，∴ ∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．（3）解法1:在DE上存在点Q，使得AQBQ.--------------------------------------------------8分取BC中点O，过点O作OQ⊥DE于点Q，则点Q满足题设. 连结EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中∵    ∴∽    ∴∵  ∴   ∴．-----------------10分∵,∴∴以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．切点为Q∴∵面,面  ∴ ∴面  ∵面ACQ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    ∴．-------------------------------------------------------------------------12分解法2: 以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点Q存在,其坐标为（0，m，n），则，∵AQBQ    ∴ ----------------------------① ∵点Q在ED上，∴存在使得∴-----------②②代入①得，解得∴满足题设的点Q存在，其坐标为

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