湘教版备考2021年中考数学三轮复习专题16 新定义和阅读理解型

定义一种运算☆，其规则为a☆b=，根据这个规则、计算2☆3的值是(   )

定义运算：a⊗b=a（1﹣b）．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2⊗（﹣2）=6，②a⊗b=b⊗a，③若a+b=0，则（a⊗a）+（b⊗b）=2ab，④若a⊗b=0，则a=0或b=1，其中结论正确的序号是（　　）

对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n=，计算（3※2）×（8※12）的结果为（　　）

先阅读下列表格：

x	…	1.1	1.2	1.3	1.4	…
x2+12x﹣15	…	﹣0.59	0.84	2.29	3.76	…

由表格可知方程x²+12x﹣15=0的正根的十分位是（　　）

观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作 AD⊥BC于D(如图)，则sinB= ， sinC= ， 即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即=.同理有：= ， = ， 所以==
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料，完成下列各题.
（1）如图，△ABC中，∠B=45⁰ ， ∠C=75⁰ ， BC=60，则∠A=      ；AC=       ；
（2）如图，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里／时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上(如图)，求此时货轮距灯塔A的距离AB.

阅读下列解答过程，并回答问题．
在（x²+ax+b）（2x²﹣3x﹣1）的积中，x³项的系数为﹣5，x²项的系数为﹣6，求a，b的值．
解：（x²+ax+b）•（2x²﹣3x﹣1）=
2x⁴﹣3x³+2ax³+3ax²﹣3bx=①
2x⁴﹣（3﹣2a）x³﹣（3a﹣2b）x²﹣3bx ②
根据对应项系数相等，有解得
回答：
（1）上述解答过程是否正确？　　 ．
（2）若不正确，从第　　步开始出现错误，其他步骤是否还有错误？　　 ．
（3）写出正确的解答过程．

定义：如图，若双曲线（k＞0）与它的其中一条对称轴y=x相交于两点A，B，则线段AB的长称为双曲线（k＞0）的对径．

（1）求双曲线的对径；
（2）若某双曲线（k＞0）的对径是．求k的值．

阅读下列文字与例题将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：（1）　am　+an+　bm　+bn=（am+bm）+（an+bn）
=m（a+b）+n（a+b）
=（a+b）（m+n）
（2）x²﹣y²﹣2y﹣1=x²﹣（y²+2y+1）
=x²﹣（y+1）²
=（x+y+1）（x﹣y﹣1）
试用上述方法分解因式a²+2ab+ac+bc+b²= ．

【阅读材料】已知，如图1，在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆O的半径为r，连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形．

∵S=S_△OBC+S_△OAC+S_△OAB=BC•r+AC•r+AB•r=ar+br+cr=（a+b+c）r．

∴r= ．

（1）【类比推理】如图2，若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r的值；

（2）【理解应用】如图3，在Rt△ABC中，内切圆O的半径为r，⊙O与△ABC各边分别相切于D、E和F，已知AD=3，BD=2，求r的值．

联想三角形内心的概念，我们可引入如下概念．

定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．

举例：如图1，若PD=PE，则点P为△ABC的准内心．

应用：如图2，BF为等边三角形的角平分线，准内心P在BF上，且PF=BP，求证：点P是△ABC的内心．

探究：已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，准内心P在AC上，若PC=AP，求∠A的度数．