题目

已知函数 为奇函数，且 图像相邻的对称轴之间的距离为 （1） 求函数 的解析式及其减区间； （2） 在 中，角A、B、C对应的边为a、b、c，且 ， ，求 的周长的取值范围． 答案： 解： f(x)=3sin(ωx+φ)+2sin2(ωx+φ2)−1 =3sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ−π6) ， 由函数 f(x) 相邻的对称轴之间的距离为 π2 ，得 ω=2πT=2ππ=2 ， ∴ f(x)=2sin(2x+φ−π6) ， 又∵ f(x) 为奇函数，∴ f(0)=0 ，即 2sin(φ−π6)=0 ， 得 φ−π6=kπ ，即 φ=π6+kπ ，而 0<φ<π，φ=π6 ，故 f(x)=2sin2x ， 令 π2+2kπ≤2x≤32π+2kπ，k∈Z ，得 π4+kπ≤x≤34π+kπ，k∈Z ， ∴ f(x) 的减区间为 [π4+kπ，34π+kπ]，k∈Z 解：由（1）可知 f(x)=2sin2x，f(A2+π6)=3 ，得 2sin(A+π3)=3 ，即 sin(A+π3)=32 ， ∵ A∈(0，π) ，∴ (A+π3)∈(π3，4π3) ，∴ A+π3=2π3 ，即 A=π3 ， ∵ a=3，A=π3，A+B+C=π ，∴ 2R=asinA=2，C=23π−B，B∈(0，23π) ∴ b+c=2R(sinB+sinC)=2[sinB+sin(23π−B)]=2(32sinB+32cosB) =23sin(B+π6) ， 而 B∈(0，23π) ，故 (B+π6)∈(π6，5π6) ；∵ sin(B+π6)∈(12，1] ，故 (b+c)∈(3，23] ； ∴ l=(a+b+c)∈(23，33] ，即 △ABC 的周长的取值范围为 (23，33]

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