题目

甲、乙两位射手对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响．已知甲每次击中目标的概率为 ，乙每次击中目标的概率为 ． （Ⅰ）求甲两次都没有击中目标的概率； （Ⅱ）在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率． 答案：解：（Ⅰ）设甲第一次击中目标为事件 A1 ，甲第二次击中目标为事件 A2 ， 则 P(A1)=P(A2)=23 ． 因为事件“甲两次都没有击中目标”即为事件 A1¯A2¯ ， 所以，所求的概率为 P(A1¯A2¯)=P(A¯1)P(A2¯)=(1−P(A1))(1−P(A2))=19 ． （Ⅱ）解法一：设乙第一次击中目标为事件 B1 ，乙第二次击中目标为事件 B2 ， 则 P(B1)=P(B2)=34 ． 所以，事件“四次射击中，甲、乙恰好各击中一次目标”表示为 A1¯A2B1¯B2+A1A2B1¯B2+A1¯A2B1B2¯+A1A2¯B1B2¯ ， 所以，所求的概率为 P=P(A1¯A2B1¯B2+A1A2B1¯B2+A1¯A2B1B2¯+A1A2¯B1B2¯) =P(A1¯A2B1¯B2)+P(A1A2B1¯B2)+P(A1¯A2B1B2¯)+P(A1A2¯B1B2¯) =4×23×13×34×14=16 ． 解法二：设乙第一次击中目标为事件 B1 ，乙第二次击中目标为事件 B2 ， 则 P(B1)=P(B2)=34 ． 所以，甲恰好击中一次目标的概率为 P1=P(A1A2¯+A1¯A2)=2×23×13=49 ， 乙恰好击中一次目标的概率为 P2=P(B1B2¯+B1¯B2)=2×34×14=38 所以，事件“四次射击中，甲、乙恰好各击中一次目标的”概率为 P=P1P2=16

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