题目

在平面直角坐标系xOy中，曲线：（为参数，实数），曲线：（为参数，实数）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l： ， （ ， ）与交于O，A两点，与交于O，B两点．当时，；当时， ． （1） 求a，b的值； （2） 求的最大值． 答案： 解：由曲线C1：{x=a+acosφy=asinφ（φ为参数，实数a>0），化为普通方程为(x−a)2+y2=a2，展开为：x2+y2−2ax=0，其极坐标方程为ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由题意可得当θ=0时，|OA|=ρ=2a=1，∴a=12.曲线C2：{x=bcosφy=b+bsinφ（φ为参数，实数b>0），化为普通方程为x2+(y−b)2=b2，展开可得极坐标方程为ρ=2bsinθ，由题意可得当θ=π2时，|OB|=ρ=2b=2，∴b=1. 解：由（1）可得C1，C2的极坐标方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ.∴2|OA|2+3|OA|⋅|OB|=2cos2θ+23sinθcosθ=3sin2θ+cos2θ+1=2sin(2θ+π6)+1，∵2θ+π6∈[π6，7π6]，∴2sin(2θ+π4)+1的最大值为3，当2θ+π6=π2，θ=π6时取到最大值.

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