题目

（9分）如图，在中，AC、BD交于点O，∠ABC=60°,AB=1,E、F分别是线段BO、DO上不与点O重合的点，且BE=DF．【小题1】（1）探究：当BC的长为多少时，四边形AECF是菱形？并说明理由．【小题2】（2）当四边形AECF是正文形时，求DF的长． 答案：【小题1】（1）当BC=1时，四边形AECF是菱形.理由如下：………………（1分）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，………………（2分）∵BE=DF，∴OB―BE=OD―DF，即OE=OF，……………………（3分）∴四边形AECF是平行四边形，……（4分）当BC=AB=1时，平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即AC⊥EF，∴平行四边形AECF是菱形.【小题2】（2）由于正方形是特殊的菱形，由（1）知，此时四边形ABCD和AECF均为菱形.∵∠ABC=60°，AB=1，AC⊥BD，∴△ADC和△ABC均为等边三角形，且AO=CO=，BO=DO=.………（8分）当四边形AECF是正方形时，EO=FO=AO=CO=，∴DF=DO－FO=－=解析:略

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