题目

已知a、b、c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b.当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1.(1)求证:|c|≤1.(2)求证:当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2.(3)设a＞0,当-1≤x≤1时,g(x)的最大值为2,求f(x). 答案：(1)证明:由题意,|f(0)|≤1,即|c|≤1.(2)证明:当a=0时,g(x)=b是常数函数.    当a≠0时,g(x)=ax+b在x∈［-1,1］上单调.    无论哪种情形,只需证明|g(1)|≤2,|g(-1)|≤2.∵|g(1)|=|a+b|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤1+1=2,|g(-1)|=|a-b|=|f(-1)-c|≤|f(-1)|+|c|≤2,∴-1≤x≤1时,|g(x)|≤2.(3)解:∵a＞0,∴g(x)在x∈［-1,1］上单调递增.∴g(x)max=g(1)=a+b=2.∴c=f(1)-g(1)=f(1)-2.∵|f(1)|≤1,∴f(1)≤1.∴c≤1-2=-1,即c≤-1.又|c|≤1,∴-1≤c≤1.∴c=-1.又在x∈［-1,1］上,-1≤f(x)≤1,即f(0)=c=-1≤f(x),∴f(0)是f(x)在x∈［-1,1］上的最小值.故对称轴-=0.∴b=0.结合a+b=2得a=2.总之,f(x)=2x2-1.

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