题目

小萌大学毕业后，家里给了她10万元，她想办一个“萌萌”加工厂，根据市场调研，她得出了一组毛利润 （单位：万元）与投入成本 （单位：万元）的数据如下： 投入成本 0.5 1 2 3 4 5 6 毛利润 1.06 1.25 2 3.25 5 7.25 9.98 为了预测不同投入成本情况下的利润，她想在两个模型 ， 中选一个进行预测. （1） 根据投入成本2万元和4万元的两组数据分别求出两个模型的函数解析式，请你根据给定数据选出一个较好的函数模型进行预测（不必说明理由），并预测她投入8万元时的毛利润； （2） 若小萌准备最少投入2万元开办加工厂，请预测加工厂毛利润率 的最大值，并说明理由.（ ） 答案： 解：先求第一个模型 f(x)=ax2+b 的解析式， 由已知数据可得 {4a+b=216a+b=5  ，解得 {a=14b=1  ， ∴ f(x)=14x2+1(0<x≤10) ， 同理可求得 g(x)=14⋅2x+1(0<x≤10) 选择 f(x)=14x2+1(0<x≤10) 作为较好的模型， 当 x=8 万元时， y=17 万元 解：由已知 r=yx=14x2+1x=x4+1x(2≤x≤10) ， 设 2≤x1<x2≤10 ，则 r1=x14+1x1 ， r2=x24+1x2 ， r2−r1=(x24+1x2)−(x14+1x1)   =(x1x22−x2x12)+(4x1−4x2)4x1x2 =x1x2(x2−x1)+4(x1−x2)4x1x2   =(x2−x1)(x1x2−4)4x1x2 ∵ 2≤x1<x2≤10 ，∴ x2−x1>0 ， x1x2−4>0 ， ∴ r2−r1>0 ， r=yx=x4+1x(2≤x≤10) 在 [2,10] 上是增函数， 当 x=10 万元时， rmax=104+110=135 .

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