题目

已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为 . （1） 求 与 的值； （2） 若斜率为 的直线 与抛物线 交于 、 两点，点 为抛物线 上一点，其横坐标为1，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，试问： 是否为定值？并证明你的结论. 答案： 解：根据抛物线定义，点 R(m,4) 到焦点的距离等于它到准线的距离， 即 4+p2=174 ，解得 p=12 ， ∴抛物线方程为 x2=y ， 点 A(m,4) 在抛物线上，得 m2=2⋅12⋅4 ，∴ m=±2 解：设直线 l 的方程为 y=−2x+b ，设 P(x1,y1) ， Q(x2,y2) ， {y=−2x+bx2=y 消元化简得 x2+2x−b=0 ， 当 Δ>0 即 4+4b>0 即 b>−1 时，直线 l 与抛物线有两交点， ∴ x1+x2=−2 。 点 M 坐标为(1，1)， x12=y1 ， x22=y2 ， ∴ k1=y1−1x1−1=x12−1x1−1=x1+1 ， k2=y2−1x2−1=x22−1x2−1=x2+1 ， ∴ k1+k2 =(x1+1)+(x2+1) =(x1+x)2+2=−2+2=0 ， 所以 k1+k2 为定值。

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