题目

如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，AB=AC=1，∠BAC=90°，点D是棱B1C1的中点． （1）求证：A1D⊥平面BB1C1C； （2）求证：AB1∥平面A1DC； （3）求三棱锥C1﹣A1CD的体积． 　 答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离． 【分析】（1）先证明AA1⊥平面ABC，可得CC1⊥AD，再利用线面垂直的判定定理，即可证明AD⊥平面BCC1B1； （2）利用三角形中位线的性质，证明A1B∥OD，利用线面平行的判定定理证明A1B∥平面AC1D； （3）利用等体积转化法求解三棱锥C1﹣A1CD的体积即可． 【解答】（1）证明：AC∩AB=A，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形， AC∩AB=A， AC，AB⊂平面ABC，∴AA1⊥平面ABC． ∵AA1∥CC1，∴CC1⊥平面ABC，∴平面平面BB1C1C⊥平面ABC，… ∴平面平面BB1C1C⊥平面A1B1C1，D是B1C1中点，AB=AC=1， ∴A1D⊥B1C1 ∴A1D⊥平面BB1C1C；… （2）证明：连结A1C，交AC1于点O，连结OD， 因为ACC1A1为正方形，所以O为AC1中点， 又D为BC中点，所以OD为△A1BC中位线， 所以A1B∥OD，… 因为OD⊂平面AC1D，AB1⊄平面AC1D， 所以A1B∥平面AC1D… （3）由（1）可知A1A三棱柱ABC﹣A1B1C1的高   … 侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，AB=AC=1，∠BAC=90°，点D是棱B1C1的中点，…， 即三棱锥C1﹣A1CD的体积为：．… 【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．

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