题目

如图，在平面直角坐标系中，点，，，轴于点D，且，直线交x轴于点C. （1）求证： ≌ ；（2）求直线的表达式；（3）若有一个动点P在y轴上，当取最小值时，求点P的坐标. 答案：证明： ∵ A(0,3) ， B(−1,0) ， D(2,0) ， ∴ AO=BD=3 ， ∵ DE⊥x 轴， ∴ ∠BDE=∠AOB=90° ，在 △ABO 和 △BED 中 {∠AOB=∠BDE∠ABO=∠BEDAO=BD ， ∴ △ABO ≌ △BED (AAS) . 解：由（1）得： △ABO ≌ △BED ， ∴ ED=OB=1 ， ∴ E(2,1) ，设直线 AE 的表达式为 y=kx+b ，将 A(0,3) ， E(2,1) 代入，得： {3=b1=2k+b ，解得： {k=−1b=3 ， ∴ AE 的表达式为 y=−x+3 . 解：设点C关于y轴的对称点为点 C′ ，连接 EC′ 交y轴于点P，此时 PE+PC 最小，如图，在 y=−x+3 中，当 y=0 时， x=3 ， ∴ C(3,0) ， ∴ C′(−3,0) ，设直线 EC′ 的表达式为 y=mx+n ，将 E(2,1) ， C′(−3,0) 代入，得： {−3m+n=02m+n=1 ，解得： {m=15n=35 ， ∴ y=15x+35 ，当 x=0 时， y=35 ， ∴ 点P的坐标是 (0,35) .

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