题目

如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1 ， 0），与x轴正半轴交于点B（x2 ， 0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13．（1）求抛物线的解析式；（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC＝ED，求点E的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．答案：解：∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）， ∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1）， ∵x12+x22﹣x1x2＝13， ∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13， ∴m2+3（m+1）＝13，即m2+3m﹣10＝0，解得m1＝2，m2＝﹣5． ∵OA＜OB， ∴抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴m＝2， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3 解：连接BE、OE． ∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，EC＝ED， ∴BE＝ 12 CD＝CE．令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∵C（0，﹣3）， ∴OB＝OC，又∵BE＝CE，OE＝OE， ∴△OBE≌△OCE（SSS）， ∴∠BOE＝∠COE， ∴点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），将E（m，﹣m）代入y＝x2﹣2x﹣3，得m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝ 1±132 ， ∵点E在第四象限， ∴E点坐标为（ 1+132 ，﹣ 1+132 ）解：过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，则S△ACQ＝S△ACF． ∵S△ACQ＝2S△AOC， ∴S△ACF＝2S△AOC， ∴AF＝2OA＝2， ∴F（1，0）． ∵A（﹣1，0），C（0，﹣3）， ∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3． ∵AC∥FQ， ∴设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，得0＝﹣3+b，解得b＝3， ∴直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3．联立 {y=x2−2x−3y=−3x+3 ，解得 {x1=−3y1=12 ， {x2=2y2=−3 ， ∴点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）

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