题目

如图，在四棱锥 中， 为正三角形，平面 平面 ， ， ， . （1） 求证：平面 平面 ； （2） 求三棱锥 的体积； 答案： 证明：取 AD 的中点，连结 PO ，如下图所示： 因为 △PAD 为正三角形，所以 PO⊥AD ， 而平面 PAD⊥ 平面 ABCD ，平面 PAD∩ 平面 ABCD=AD ， 所以 PO⊥ 平面 ABCD ， 因为 CD⊂ 平面 ABCD ， 所以 PO⊥CD . 在平面 ABCD 中，因为 AB// CD ， AB⊥AD ，所以 CD⊥AD ， 又因为 AD∩PO=O，AD，PO⊂ 平面 PAD ，所以 CD⊥ 平面 PAD ，而 CD⊂ 平面 PCD ， 所以平面 PCD⊥ 平面 PAD ； 解：由（1）可知： PO⊥ 平面 ABCD . 因为 △PAD 为正三角形， AD=2 ，所以 PO=PA2−(12AD)2=4−1=3 . 设三棱锥 P−ABC 的体积为 V ， 所以有 V=13⋅SΔABC⋅PO=13×12⋅AB⋅AD⋅PO=13×12×2×2×3=233 .

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