题目

已知函数 ． （1） 判断并证明 在 的单调性； （2） 已知a为正实数，且对于任意 ，都有 恒成立，求正实数a的取值范围． 答案： f(x) 在 (1，+∞) 上单调递减，证明如下： f(x)=xex−1 的定义域为 (−∞，0)∪(0，+∞) ，则 f′(x)=(1−x)ex−1(ex−1)2 ， 当 x>1 ，则 f′(x)<0 ，即 f(x) 单调递减，故 f(x) 在 (1，+∞) 上单调递减； ∵ (ex+a)f(x)≥2a 对于任意 x∈(0，+∞) 恒成立，即 (ex+a)xex−1≥2a 对于任意 x∈(0，+∞) 恒成立， 当 x>0 时， ex−1>0 ，则有 (ex+a)x≥2a(ex−1) 对于任意 x∈(0，+∞) 恒成立，即 a(2ex−x−2)≤xex ， 令 m(x)=2ex−x−2 ，则 m′(x)=2ex−1 在 (0，+∞) 上单调递增，则 m′(x)>m′(0)=1>0 在 (0，+∞) 上恒成立，故 m(x) 在 (0，+∞) 上单调递增， ∴ m(x)>m(0)=0 ，即 2ex−x−2>0 ，故 a≤xex2ex−x−2 对于任意 x∈(0，+∞) 恒成立， 令 g(x)=xex2ex−x−2 ，则 g′(x)=ex[2ex−x2−2x−2](2ex−x−2)2 ， 令 h(x)=2ex−x2−2x−2 ，则 h′(x)=2ex−2x−2 ， h″(x)=2(ex−1)>0 ， ∴ h′(x) 在 (0，+∞) 上单调递增，则 h′(x)>h′(0)=0 ，则 h(x) 在 (0，+∞) 上单调递增， ∴ h(x)>h(0)=0 ，即 g′(x)>0 ，则 g(x) 在 (0，+∞) 上单调递增， ∴ g(x)>g(0) ，而 limx→0g(x)=limx→0xex2ex−x−2=limx→0ex(x+1)2ex−1=1 ， ∴ a≤1 ，又 a>0 ，故正实数a的取值范围为 (0，1] ．

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