题目

如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点． （1） 证明：MN∥平面PAB； （2） 求直线AN与平面PMN所成角的正弦值． 答案： 证明：取BC中点E，连结EN，EM，∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线，∴NE∥PB，又∵AD∥BC，∴BE∥AD，∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，∴BE= 12 BC=AM=2，∴四边形ABEM是平行四边形，∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB 解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC= 23 ，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=9+4- 2×3×2×23 =5．∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN= 12PC=12PA2+PC2=52 ，在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF= PA×AMPM=4×242+22=455 ，∴ sin∠ANF=AFAN=45552=8525 ．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为 8525

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