题目

如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.  （1） 证明：BE⊥平面EB1C1； （2） 若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值. 答案： 解：由已知得， B1C1⊥ 平面 ABB1A1 ， BE⊂ 平面 ABB1A1 ， 故 B1C1⊥ BE ． 又 BE⊥EC1 ，所以 BE⊥ 平面 EB1C1 ． 由（1）知 ∠BEB1=90° ．由题设知 Rt△ABE≅Rt△A1B1E ，所以 ∠AEB=45° ，故 AE=AB ， AA1=2AB ．以 D 为坐标原点， DA→ 的方向为x轴正方向， |DA→| 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 则C（0，1，0），B（1，1，0）， C1 （0，1，2），E（1，0，1）， CE→=(1,−1,1) ， CC1→=(0,0,2) ．设平面EBC的法向量为 n→ =（x，y，x），则{CB¯⋅n→=0,CE→⋅n→=0, 即 {x=0,x−y+z=0,所以可取 n→ = (0,−1,−1) .设平面 ECC1 的法向量为 m→ =（x，y，z），则{CC¯1⋅m→=0,CE→⋅m→=0, 即 {2z=0,x−y+z=0.所以可取 m→ =（1，1，0）．于是 cos<n→,m→>=n→⋅m→|n→||m→|=−12 ．所以，二面角 B−EC−C1 的正弦值为 32 ．

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