题目

如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝3，AC⊥BC，点M在线段AB上． （1） 若M是AB中点，证明AC1∥平面B1CM； （2） 当BM 时，求直线C1A1与平面B1MC所成角的正弦值． 答案： 证明：连结BC1，交B1C于E，连结ME． ∵侧面BB1C1C为矩形， ∴E为BC1的中点，又M是AB的中点， ∴ME∥AC1． 又ME⊂平面B1CM，AC1⊄平面B1CM， ∴AC1∥平面B1CM． 解：以C为原点，以CB，CA，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系C﹣xyz如图所示： 则B1（0，3，3），A1（3，0，3），A（3，0，0），B（0，3，0），C1（0，0，3），AB＝3 2 ，∴BM =13 BA． ∴ CB1→= （0，3，3）， CM→= （1，2，0）， C1A1→= （3，0，0）． 设平面B1MC的法向量为 n→= （x，y，z），则 n→⋅CB1→= 0， n→⋅CM→=0 ， ∴ {3y+3z=0x+2y=0 ，令z＝1得 n→= （2，﹣1，1）． ∴cos <n→ ， C1A1→>=n→⋅C1A1→|n→||C1A1→|=66⋅3=63 ． 故当BM =2 时，直线C1A1与平面B1MC所成角的正弦值为 63 ．

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