题目

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD与⊙O相切，AD∥BC，连结OD，AC． （1）求证：∠B=∠DCA； （2）若tan B=，OD=， 求⊙O的半径长．   答案：（1）证明：连结OC． ∵CD与⊙O相切，OC为半径， ∴∠2+∠3=90°，………………………..1分 ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，…………………………2分 ∴∠1+∠B=90°， 又∵OA=OC， ∴∠1=∠2， ∴∠3=∠B．…………………………....3分 （2）解： ∵AD∥BC，AB是⊙O的直径， ∴∠DAC=∠ACB=90°， ∵∠1+∠B=90°，∠2+∠3=90°，∠1=∠2， ∴∠B=∠3， ∴△ABC∽△DCA，…………………….4分 ∴, ∵∠B的正切值为， 设AC=，BC=2k,则AB=3k， ∴，，……………….......................5分 在△ODC中，OD=，OC=k， ∴， ∴解得k=2， ∴⊙O的半径长为3． …………………………………………...6分

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