题目

已知 （1） 求 的单调区间； （2） 当 时，是否存在实数 ，使得 成立，若存在求出 ，若不存在说明理由. 答案： 解：由题意知： f′(x)=ex−a ①当 a≤0 时， f′(x)>0 ，则 f(x) 在 (−∞,+∞) 上单调递增 ②当 a>0 时，令 f′(x)=0 ，解得： x=lna ∴ 当 x∈(−∞,lna) 时， f′(x)<0 ；当 x∈(lna,+∞) 时， f′(x)>0 ∴f(x) 在 (−∞,lna) 上单调递减；在 (lna,+∞) 上单调递增 综上所述：当 a≤0 时， f(x) 在 (−∞,+∞) 上单调递增；当 a>0 时， f(x) 在 (−∞,lna) 上单调递减；在 (lna,+∞) 上单调递增 解：当 a=1 时， f(x)=ex−x−1 则 f(x)x>mln(x+1) 等价于： ex−x−1x−mln(x+1)>0 设 g(x)=ex−x−1x−mln(x+1) ， x∈(−1,0)∪(0,+∞) 则 g′(x)=(ex−1)x−(ex−x−1)x2−mx+1=(x−1)ex+1x2−mx+1=(x2−1)ex+(x+1)−mx2x2(x+1) 令 h(x)=(x2−1)ex+(x+1)−mx2 则 h′(x)=(x2+2x−1)ex−2mx+1 ， h″(x)=(x2+4x+1)ex−2m ， h‴(x)=(x2+6x+5)ex ①当 x∈(−1,0) 时， h‴(x)>0 ∴h″(x) 单调递增 即 h″(x)<h″(0)=1−2m ⑴当 m≥12 时， 1−2m≤0 ，此时 h″(x)<0 ∴h′(x) 单调递减 ∴h′(x)>h′(0)=0 ∴h(x) 单调递增 ∴h(x)<h(0)=0 ，即 g′(x)<0 ∴g(x) 在 (−1,0) 上单调递减 ∴g(x)>limx→0g(x)=limx→0(ex−x−1x)−limx→0(mln(x+1))=limx→0(ex−1)=0 此时 f(x)x>mln(x+1) 恒成立 ⑵当 m<12 时， h″(0)=1−2m>0 ， h″(−1)=−2e−2m 若 m≤−1e ，则 h″(−1)≥0 ∴h′(x) 单调递增 ∴h′(x)<h′(0)=0 ∴h(x) 单调递减 ∴h(x)>h(0)=0 即 g′(x)>0 ∴g(x) 在 (−1,0) 上单调递增 ∴g(x)<limx→0g(x)=0 此时 f(x)x<mln(x+1) ，不满足题意 若 −1e<m<12 ，则 h″(−1)<0 ∴∃x0∈(−1,0) ，使得 h″(x0)=0 当 x∈(x0,0) 时， h″(x)>0 ，此时 h′(x) 单调递增 即当 x∈(x0,0) 时， h′(x)<h′(0)=0 ， h(x) 单调递减 ∴h(x)>h(0)=0 即 g′(x)>0 ∴g(x) 在 (x0,0) 上单调递增 ∴g(x)<limx→0g(x)=0 此时 f(x)x<mln(x+1) ，不满足题意 ②当 x∈(1,+∞) 时， h‴(x)>0 ∴h″(x) 单调递增 ∴h″(x)>h″(0)=1−2m ⑴当 m≤12 时， h″(x)>0 ∴h′(x) 单调递增 ∴h′(x)>h′(0)=0 ∴h(x) 单调递增 ∴h(x)>h(0)=0 ，即 g′(x)>0 ∴g(x) 在 (0,+∞) 上单调递增 ∴g(x)>limx→0g(x)=0 ，此时 f(x)x>mln(x+1) 恒成立 ⑵当 m>12 时， h″(0)=1−2m<0 ， limx→+∞h″(x)=+∞ ∴∃x1∈(0,+∞) ，使得 h″(x1)=0 当 x∈(0,x1) 时， h″(x)<0 ，此时 h′(x) 单调递减 即当 x∈(0,x1) 时， h′(x)<h′(0)=0 ， h(x) 单调递减 ∴h(x)<h(0)=0 即 g′(x)<0 ∴g(x) 在 (0,x1) 上单调递减 ∴g(x)<limx→0g(x)=0 此时 f(x)x<mln(x+1) ，不满足题意 ∴ 当 x∈(−1,0) 时， m≥12 ；当 x∈(−1,+∞) 时， m≤12 ∴ 存在实数 m ，使得 f(x)x>mln(x+1) 成立，则： m=12

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