题目

已知抛物线y=x2﹣（k+2）x+和直线y=（k+1）x+（k+1）2． （1）求证：无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点； （2）抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3，求x1•x2•x3的最大值； （3）如果抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G（如图），且CA•GE=CG•AB，求抛物线的解析式． 答案：（1）证明：∵△=（k+2）2﹣4×1×=k2﹣k+2=（k﹣）2+， ∵（k﹣）2≥0， ∴△＞0， ∴无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点； （2）解：∵抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3， ∴x1•x2=， 令0=（k+1）x+（k+1）2， 解得：x=﹣（k+1）， 即x3=﹣（k+1）， ∴x1•x2•x3=﹣（k+1）•=﹣（k+）2+， ∴x1•x2•x3的最大值为：； （3）解：∵CA•GE=CG•AB， ∴， ∵∠ACG=∠BCE， ∴△CAG∽△CBE， ∴∠CAG=∠CBE， ∵∠AOD=∠BOE， ∴△OAD∽△OBE， ∴， ∵抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E， ∴OA•OB=，OD=，OE=（k+1）2， ∴OA•OB=OD， ∴， ∴OB2=OE， ∴OB=k+1， ∴点B（k+1，0）， 将点B代入抛物线y=x2﹣（k+2）x+得：（k+1）2﹣（k+2）（k+1）﹣=0， 解得：k=2， ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3．

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