题目

如图 （1） 如图 ， 中， ， 是 上任意一点，以点 为中心，取旋转角等于 ，把 逆时针旋转，画出旋转后的图形． （2） 如图 ，等边 中， 为 边上一点， 在 的延长线上，且 ．求证： ． （3） 已知：如图 ，在 中， ， ， 为 边上一点， 为 延长线上一点，且 ，已知 ， ．写出求线段 长的具体思路（即添加辅助线的方法，推导的具体步骤详写，其它的写出关键步骤或结果即可），并给出最后结果． 答案： 解：如图， △ACP′ 即为所求， 解：延长 BC 至点 F ，使 CF=BD ，连结 EF ．∵ △ABC 为等边三角形，∴ AB=BC，∠B=∠ACB=60° ，∴ ∠ECF=∠ACB=60° ，∴ △CEF 为等边三角形．∴ EF=CF，∠F=60° ． ∵ BD=CF ，∴ BD=EF ，又∵ AB=BC=BD+DC=CF+DC=DF ，∴ △ABD ≌ △DFE ，∴ ∠BAD=∠EDC ，得证． 解：过点 C 作 D′M′⊥BC ，并取 CD′=CM′=BD=BM ，连结 DD′ 、 MM′ 、 DM′ ，则 DD′=DM′，∠D′DC=∠M′DC ，由（ 1 ）（ 2 ）可得 ∠D′DC=∠BAD=7.5° ，∴ ∠CDM′=7.5° ，由 AB=AC，∠BAC=90° ，可证得 △ABD ≌ △ACD′，△AMB ≌ AM′C ，所以 △AMM′ 和 △ADD′ 为等腰直角三角形，∴ AD=AD′=1，AM=AM′ ，∴ DD′=2=DM′，∠ADD′=45° ，∴ ∠ADM′=45°+7.5°+7.5°=60° ，过 A 作 AE⊥DM′ 于点 E ，∴ ∠DAE=30° ，∴ DE=12AD=12，AE=32 ，∴ EM′=2−12 ，∴ AM=AM′=AE2+（EM）2=(32)2+(2−12)2=3−2 ．

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