题目

如图1，已知点A（﹣1，0），点B（0，﹣2），AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，双曲线y= 经过C，D两点且D（a，4）、C（2，b）． （1） 求a、b、k的值； （2） 如图2，线段CD能通过旋转一定角度后点C、D的对应点C′、D′还能落在y= 的图象上吗？如果能，写出你是如何旋转的，如果不能，请说明理由； （3） 如图3，点P在双曲线y= 上，点Q在y轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标． 答案： 解：如下图，过点D作DP⊥y轴交y轴于点P或过点D作x轴垂线∵ E为AD的中点.∴ AE=DE.又∵ DP⊥y轴，∠AOE=90°，∴∠DPE=∠AEO，∴△PDE≌△OAE(AAS).∴ PD=OA.∵ A(-1，0).∴ PD=1.∴ D点坐标为（1，4）.∵ 点D在反比例函数图象上.∴k=xy=1×4=4.∵点C在反比例函数图象上，C点坐标为（2，b).∴ b=42=2.∴a=1，k=4，b=2. 解：能. 当C、D绕点O顺时针旋转180°时，C’、D’落在 y=4x 图像上.或点C、D关于原点中心对称的点在图像上. 解：∵由（1）知k=4，∴反比例函数的解析式为 y=4x ，∵点P在双曲线 y=4x 上，点Q在y轴上，∴设Q（0，y），P（ x，4x ），①当AB为边时：如下图所示：若ABPQ为平行四边形，则 −1+x2=0.解得x=1，此时P1（1，4），Q1（0，6）.如下图所示：若ABQP为平行四边形，则 −12=x2 ，解得x=-1此时P2（-1，-4），Q2（0，-6）.②如下图所示：当AB为对角线时：AP=BQ，且AP∥BQ；∴ −12=x2 ，解得x=-1 . ∴ P3（-1，-4），Q3（0，2）.故 P1（1，4），Q1（0，6） ；P2（-1，-4），Q2（0，-6） ； P3（-1，-4），Q3（0，2）；

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