题目

如图，在正方形 中， ，点 是 边上一点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 交 于点 ，连接 ，过点 作 交 延长线于点 ． （1） 求证： ； （2） 若 ，求线段 绕点 顺时针旋转 所形成的图形面积． 答案： 证明： 由题可知∠APE=90°，AP=EP， ∴∠APB＋∠EPG=90°， 又∵∠BAP＋∠APB=90°， ∴∠BAP=∠EPG， 在△ABP和△PGE中， {∠B=∠PGE∠BAP=∠EPGPA=PE ， ∴△ABP≌△PGE（AAS） 解：由（1）可知，PG=AB=BC=4，∴PB＋PC=PC＋CG， ∴BP=CG. ∵ SΔAPF ： SΔPEF ＝4：1，∴ AF:EF=4:1 . 过点E作EH⊥DC交DC于点H，则四边形EHCG为矩形， ∴HE=CG. 则EH∥AD， ∴△AFD∽△EFH， ∴ ADHE=AFEF=41 ， ∴HE=1， ∴BP=1， ∴在Rt△ABP 中，AP=PE= AB2+BP2=17 ， ∴线段AP绕点P顺时针旋转90°所形成的图形面积为 90π×(17)2360=17π4

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