题目

已知向量 ， .设函数 ， . （1） 当 时，方程 有两个不等的实根，求 的取值范围； （2） 若方程 在 上的解为 ， ，求 . 答案： 解：由题意可知， f(x)=cosx⋅(12sinx+32cosx)−3cos2x+34 =12sinx⋅cosx−32cos2x+34=14sin2x−34(1+cos2x)+34 =14sin2x−34cos2x=12sin(2x−π3) 令 g(x)=2f(x+π4)=sin(2x+π6) 当 x∈[−π6,π3] 时，令 t=2x+π6 ，则 t∈[−π6,5π6] 且 y=sint 在区间 [−π6,π2] 上单调递增，在区间 [π2,5π6] 上单调递减 若使得方程 2f(x+π4)=2a−3 有两个不等的实根 则需函数 g(x) 与 y=2a−3 有两个交点 即 y=sint ， t∈[−π6,5π6] 与 y=2a−3 有两个交点. 所以 2a−3∈[12,1) ，即 a∈[74,2) 解： x∈(0,π) ，令 t=2x−π3 ，则 t∈(−π3,5π3) 所以 y=12sin(2x−π3)=12sint,t∈(−π3,5π3) 又因为 y=12sint,t∈(−π3,4π3) 时，图象关于 t=π2 对称，且 y∈(−34,12) t∈(4π3,5π3) 时，图象关于 t=3π2 对称，且 y∈(−12,−34) 所以 f(x)=13 等价于 12sint=13,t∈(−π3,4π3) 设 t1,t2 为 y=12sint 与 y=13 的两交点的横坐标，则 t1+t2=π ∵ x1 ， x2 为方程 f(x)=13 的两个解 ∴ sin(2x1−π3)=sin(2x2−π3)=23 即 2x1−π3+2x2−π3=π ，即 x1+x2=5π6 ， x2=5π6−x1 cos(x1−x2)=cos(2x1−5π6)=cos((2x1−π3)−π2)=sin(2x1−π3)=23

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