题目

 (21) （本小题满分12分） 已知函数的图象过点（-1，-6），且函数的图象关于y轴对称. (Ⅰ)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间； (Ⅱ)若a＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值. 答案：（1）m=-3, n=0. f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；f(x)的单调递减区间是（0，2）（2）当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值，当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a=1或a≥3时，f(x)无极值. 解析:（1）由函数f(x)图象过点（－1，－6），得m-n=-3, ……① 由f(x)=x3+mx2+nx-2，得f′（x）=3x2+2mx+n, 则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n; 而g(x)图象关于y轴对称，所以－＝0，所以m=-3, 代入①得n=0. 于是f′(x)＝3x2-6x=3x(x-2). 由f′(x)>得x>2或x<0, 故f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）； 由f′(x)<0得0<x<2, 故f(x)的单调递减区间是（0，2）. (Ⅱ)由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2), 令f′(x)＝0得x=0或x=2. 当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表： X (-∞.0) 0 (0,2) 2 (2,+ ∞) f′(x) + 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 由此可得： 当0<a<1时，f(x)在（a-1,a+1）内有极大值f(O)=-2,无极小值； 当a=1时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值； 当1<a<3时，f(x)在（a-1,a+1）内有极小值f(2)＝－6，无极大值； 当a≥3时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值. 综上得：当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值，当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a=1或a≥3时，f(x)无极值.

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