题目

在平面直角坐标系xOy中，经过点 且斜率为k的直线l与椭圆 有两个不同的交点P和Q． （Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量 与 共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由． 答案：解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为 y=kx+2 ， 代入椭圆方程得 x22+(kx+2)2=1 ．整理得 (12+k2)x2+22kx+1=0 ①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，等价于①的判别式△= 8k2−4(12+k2)=4k2−2>0 ，解得 k<−22 或 k>22 ．即k的取值范围为 (−∞,−22)∪(22,+∞) ．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则 OP→+OQ→=(x1+x2,y1+y2) ，由方程①， x1+x2=−42k1+2k2 ． ②又 y1+y2=k(x1+x2)+22 ． ③而 A(2,0),B(0,1),AB→=(−2,1) ．所以 OP→+OQ→ 与 AB→ 共线等价于 x1+x2=−2(y1+y2) ，将②③代入上式，解得 k=22 ．由（Ⅰ）知 k<−22 或 k>22 ，故没有符合题意的常数k

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