题目

已知数列 满足: . （1） 若 ，求数列 的通项公式； （2） 设数列 的前 项和为 ，且 试确定 的值，使得数列 为等差数列； （3） 将数列 中的部分项按原来顺序构成新数列 ，且 ，求证:存在无数个满足条件的无穷等比数列 . 答案： 解： 1an+1=1an2+4 ，则 1an+12−1an2=4 ， n∈N* ∴ 数列 {1an2} 是以1为首项，以4为公差的等差数列，则 1an2=1+4(n−1)=4n−3 ， ∴ an=14n−3 ， ∴ 数列 {an} 的通项公式 an=14n−3 解：由（1）可得 an=14n−3 ， ∵ Sn+1an2=Snan+12+16n2−8n−3 ， ∴(4n−3)Sn+1=(4n+1)Sn+16n2−8n−3 ， ∴ Sn+14n+1−Sn4n−3=1 ， ∴ 数列 {Sn4n−3} 是等差数列，首项为 S1 ，公差为1． ∴ Sn4n−3=b1+n−1 ， ∴Sn=(b1+n−1)(4n−3) ， 当 n⩾2 时， bn=Sn−Sn−1=(b1+n−1)(4n−3)−(b1+n−2)(4n−7) ，化为 bn=4b1+8n−11 ， 若数列 {bn} 为等差数列，则上式对于 n=1 时也成立， ∴b1=4b1−3 ，解得 b1=1 ． ∴bn=8n−7 为等差数列． ∴b1=1 ，数列 {bn} 为等差数列； 证明：由（1）可得 1an2=4n−3 ． 令等比数列 {cn} 的公比 q=5m(m∈N*) ，则 cn=c1qn−1=5×5m(n−1) ， 设 k=m(n−1) ，因为 1+5+52+…+5k−1=5k−14 ， 所以 5×5m(n−1)=5×[3(1+5+52+…+5k−1)+1] ， =3[5(1+5+52+…+5k−1)+2]−1 ， 因为 5(1+5+52+…+5k−1)+2 为正整数， 所以数列 {cn} 是数列 {an} 中包含的无穷等比数列， 因为公比 q=5m(m∈N*) 有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列 {cn} 有无数个．

查看本题答案和解析