题目

已知实数列{an}满足|a1|=1，|an+1|=q|an|，n∈N+ ， 常数q＞1．对任意的n∈N+ ， 有 ． 设C为所有满足上述条件的数列{an}的集合．（1）求q的值；（2）设{an}，{bn}∈C，m∈N+ ， 且存在n0≤m，使 ． 证明：；（3）设集合 Am= ， m∈N+ ， 求Am中所有正数之和． 答案：解：（1）因为，|an+1|=q|an|，所以，数列{|an|}是一个公比为q的等比数列，所以，由∑k=1n+1ak≤4an得化简1-qn+11-q≤4qn-1，化简得，1qn-1≤q-22对任意正整数n都成立，左边在n无穷大时是无穷小，所以，q=2；（2）假设l是1，2，3，…，m中满足an≠bn中的最大角标，则 ∑k=1mak-∑k=1mbk=∑k=11ak-∑k=11bk=a1-b1-∑k=1l-1ak-∑k=1l-1bk≥21-∑k=1l-12k=2，所以，∑k=1mak≠∑k=1mbk；（3）显然{an}的前m项和是正数，当且仅当am＞0，此时ai（i=1，2，…，m﹣1）的符号随意，即{an}：±1，±2，±4，…，±2m﹣2，2m﹣1，这样的数列共有2m﹣1个，若ai与bi符号相反，则进行配对（i=1，2，…，m﹣1），于是，Am中所有元素之和为2m﹣1•2m﹣1=22m﹣2．

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