题目

如图所示，在同一竖直平面内，半径 的光滑半圆轨道 与高 的粗糙圆弧轨道 （小于四分之一弧长）由一条光滑水平轨道平滑连接。在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压（不连接），处于静止状态。同时释放两个小球，弹簧的弹性势能全部转化为a、b两小球的动能，且a球恰好能通过半圆轨道最高点A，b球恰好能到达粗糙圆弧轨道最高点B。已知a球质量为 ，b球质量为 ，求：（g取 ） （1） a球经过半圆轨道的C点时对轨道的作用力 （2） b球经过D点时的速度大小 （3） 释放小球前弹簧的弹性势能 答案： 以a球为研究对象，恰好通过最高点时，有 m1g=m1vA2R 可得 vA=Rg=10m/s a球从C到A的过程，由动能定理 −m1g⋅2R=12m1vA2−12m1vC2 C点时受力分析，由牛顿第二定律得 FC−m1g=m1vC2R 解得 FC=6m1g=240N 由牛顿第三定律知，a球经过C点时对轨道的作用力大小为240N，方向竖直向下。 a、b及弹簧组成的系统，由动量守恒得 m1vC=m2vD 解得 vD=102m/s 设小球从D运动到B克服摩擦力做功为W，b球从D点到达最高点B过程中，由动能定理 −m2g8R−W=0−12m2vD2  释放小球前弹簧的弹性势能为 Ep=12m1vC2+12m2vD2 解得 EP=300J

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