题目

已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），对任意x满足f（3﹣x）=f（x），且f（1）=2． （1） 若f（x）在（a，2a﹣1）上单调递减，求实数a的取值范围． （2） 设函数h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x，其中t∈R，求h（x）在区间[0，1]上的最小值g （t）． 答案： 解：设f（x）=ax2+bx+c（a＞0），由于过点（0，4），∴c=4．由f（3﹣x）=f（x）得，a（3﹣x）2+b（3﹣x）+4=ax2+bx+4，即3a+b=0①又f（1）=a+b+4=2∴a=1，b=﹣3，故f（x）=x2﹣3x+4，则函数的单调递减区间为：（﹣∞， 32 ]若f（x）在（a，2a﹣1）上单调递减，则a＜2a﹣1≤ 32解得：a∈（1， 54 ] 解：函数h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x=x2﹣2tx+4的图象是开口朝上，且以直线x=t为对称轴的抛物线，当t≤0时，h（x）在区间[0，1]上为增函数，当x=0时，h（x）取最小值，即g （t）=h（0）=4．当0＜t＜1时，h（x）在区间[0，t]上为减函数，区间[t，1]上为增函数，当x=t时，h（x）取最小值，即g （t）=h（t）=4﹣t2．当t≥1时，h（x）在区间[0，1]上为减函数，当x=1时，h（x）取最小值，即g （t）=h（1）=5﹣2t．

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