题目

已知函数 （ ）为奇函数. （1） 求实数a； （2） 设函数 . ①求 ； ②试证明函数 的图象关于点 对称. 答案： 解：因为 f(x) 为奇函数，所以对定义域内任意x，都有 f(−x)+f(x)=0 ， 即 lg1−x1−ax+lg1+x1+ax=lg1−x21−a2x2=0 ， 则 1−x21−a2x2=1 对定义域内任意x恒成立，所以 a2=1 ，即 a=±1 ， 由条件知 a≠1 ，得到 a=−1 解：①因为 f(x) 为奇函数，所以 f(12)+f(−12)=0 . 则 g(12)+g(−12)=f(12)+f(−12)+21+2+21+12=21+2+221+2=2 ， 所以 g(12)+g(−12)=2 . ②因为 g(x)=lg1+x1−x+21+2x ，所以函数 g(x) 的定义域为 (−1,1) . 设点 P(x,y) 为 g(x) 图象上任意一点，则 y=lg1+x1−x+21+2x ， 下证：点 P(x,y) 关于 (0,1) 的对称点 Q(−x,2−y) 也在函数 g(x) 的图象上. 因为 g(−x)=lg1−x1+x+21+2−x=lg1−x1+x+2⋅2x2x+1 =−lg1+x1−x+2−22x+1=2−(lg1+x1−x+21+2x)=2−y ， 所以 Q(−x,2−y) 也在函数 g(x) 的图象上， 即函数 g(x) 的图象关于点 (0,1) 对称.

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