题目

如图，已知在⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°。 （1）求图中阴影部分的面积； （2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径。 答案： 解：（1）法一：过O作OE⊥AB于E，则AE=AB=2。 在RtAEO中，∠BAC=30°，cos30°=． ∴OA===4． 又∵OA=OB，∴∠ABO=30°．∴∠BOC=60°． ∵AC⊥BD，∴=． ∴∠COD =∠BOC=60°．∴∠BOD=120°． ∴S阴影== 法二：连结AD．            ∵AC⊥BD，AC是直径，   ∴AC垂直平分BD。  ∴AB=AD，BF=FD，=。 ∴∠BAD=2∠BAC=60°， ∴∠BOD=120°．      ∵BF=AB=2，sin60°=， AF=AB・sin60°=4×=6。 ∴OB2=BF2+OF2．即． ∴OB=4．             ∴S阴影=S圆=。  法三：连结BC． ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC=90°。 ∵AB=4， ∴ ∵∠A=30°， AC⊥BD， ∴∠BOC=60°， ∴∠BOD=120°． ∴S阴影=π・OA2=×42・π= 以下同法一。 （2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr， ∴ ∴。

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