题目

已知等差数列{an}的前n项和为Sn ， 且a2+2a4＝a9 ， S6＝36． （1） 求an ， Sn； （2） 若数列{bn}满足b1＝1， ，求证： （n∈N*）． 答案： 解：设等差数列{an}的公差设为d，前n项和为Sn，且a2+2a4＝a9，S6＝36， 可得a1+d+2（a1+3d）＝a1+8d，即2a1＝d， 又6a1+15d＝36，即2a1+5d＝12， 解得a1＝1，d＝2，则an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，Sn＝n+n（n﹣1）＝n2； 证明：数列{bn}满足b1＝1， bn+1bn=Sn= n， 当n＝1时，b1b2＝1，可得b2＝1， n≥2时，bnbn﹣1＝n﹣1， 相减可得bn（bn+1﹣bn﹣1）＝1，即 1bn= bn+1﹣bn﹣1， 当n≥2时， 1b1+1b2+⋯+1bn=1b1+ b3﹣b1+b4﹣b2+b5﹣b3+…+bn+1﹣bn﹣1 =1b1− b1﹣b2+bn+bn+1≥﹣1+2 bnbn+1= 2 n− 1； 当n＝1时， 1b1= 1＝2 1− 1，不等式成立， 综上可得， 1b1+1b2+⋯+1bn≥2n−1 （n∈N*）．

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