题目

已知抛物线C：y1＝﹣x2+bx+4. （1） 如图，抛物线与x轴相交于两点（1﹣m，0）、（1+m，0）. ①求b的值； ②当n≤x≤n+1时，二次函数有最大值为3，求n的值. （2） 已知直线l：y2＝2x﹣b+9，当x≥0时，y1≤y2恒成立，求b的取值范围. 答案： 解：①﹣x2+bx+4＝0 x1+x2＝ b−1 ＝1﹣m+1+m＝2，解得 b＝2； ②抛物线开口向下，对称轴左侧y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小. i：n+1≤1即n≤0， 当x＝n+1时，y有最大值， ﹣（n+1）2+2（n+1）+4＝3  n=±2 ， 又∵n≤0，∴ n=−2 ， ii：n≤1≤n+1即0≤n≤1， 当x＝1时y有最大值， ﹣12+2＜1+4＝3不成立， iii：n≥1时， 当x＝n时，y有最大值， ﹣n2+2n+4＝3    n=1±2 ， 又∵n≥1， ∴ n=1+2 ， 综上所述： n=−2 或 n=1+2 ； y1≤y2， ﹣x2+bx+4≤2x﹣b+9， x2+（2﹣b）x+5﹣b≥0， ①：△≤0， （2﹣b）2﹣4（5﹣b）≤0， ﹣4≤b≤4； ②：△＞0则b＞4或b＜﹣4， i： −2−b2>0 ，不成立， ii： {−2−b2≤05−b≥0 ， b≤2， 又∵b＞4或b＜﹣4， ∴b＜﹣4， 综上所述b≤4.

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