题目

数列{an}满足a1=1且an+1=(1+)an+(n≥1).(1)用数学归纳法证明an≥2(n≥2);(2)已知不等式ln(1+x)＜x对x＞0成立,证明an＜e2(n≥1),其中无理数e=2.718 28…. 答案：剖析:本题第二问中an不能求出,直接比较an与e2的大小不行,且是与自然数有关的命题,故可考虑用数学归纳法.证明:(1)①当n=2时,a2=2≥2,不等式成立.    ②假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即ak≥2(k≥2),那么ak+1=［1+］ak+≥2,这就是说,当n=k+1时不等式成立.    根据①②可知an≥2对所有n≥2成立.    (2)由递推公式及(1)的结论有    an+1=(1+)an+≤(1++)an(n≥1).两边取对数并利用已知不等式得    lnan+1≤ln(1++)+lnan≤lnan++.    故lnan+1-lnan≤+(n≥1).    上式从1到n-1求和可得    lnan-lna1≤++…++++…+=1-+(-)+…+-+·=1-+1-＜2,    即lnan＜2,故an＜e2(n≥1).

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