题目

已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ． （1） 求 的解析式； （2） 已知 ， ，且 ，若存在 ， 使 成立，求实数 的取值范围． 答案： 解：根据题意，函数 f(x)=mx+n1+x2 是定义在 [−1,1] 上的奇函数， 则 f(0)=0 ，可得 n=0 ，则 f(x)=mx1+x2 ， 又由 f(1)=1 得，则 m2=1 ，可得 m=2 ， 则 f(x)=2x1+x2 ． 解：因为 a>0 ， b>0 ，且 1a+2b=8 ， 所以 a+b2=18(a+b2)(1a+2b)=18(2+b2a+2ab)≥18(2+2b2a⋅2ab)=12 ，当且仅当 b2a=2ab ，即 a=14 ， b=12 时，等号成立， 若存在 a ， b 使 f(t)>a+b2 成立，则 f(t)>12 ，即 2t1+t2>12 ， 解得： 2−3<t<2+3 ，又 t∈[−1,1] ， 所以实数 t 的取值范围是 (2−3,1] ．

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