题目

已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ， ，M是椭圆E上的一个动点，且 的面积的最大值为 . （1） 求椭圆E的标准方程， （2） 若 ， ，四边形ABCD内接于椭圆E， ，记直线AD，BC的斜率分别为 ， ，求证: 为定值. 答案： 解：设椭圆E的半焦距为c，由题意可知， 当M为椭圆E的上顶点或下顶点时， △MF1F2 的面积取得最大值 3 . 所以 {c=112×2c×b=3a2=b2+c2 ，所以 a=2 ， b=3 ， 故椭圆E的标准方程为 x24+y23=1 . 解：根据题意可知 A(2,0) ， B(0,3) ，因为 AB//CD ， 所以可设直线CD的方程为 y=−32x+m(m≠3),D(x1,y1),C(x2,y2) . 由 {x24+y23=1y=−32x+m ，消去y可得 6x2−43mx+4m2−12=0 ， 所以 x1+x2=23m3 ，即 x1=23m3−x2 . 直线AD的斜率 k1=y1x1−2=−32x1+mx1−2 ， 直线BC的斜率 k2=y2−3x2=−32x2+m−3x2 ， 所以 k1k2=−32x1+mx1−2⋅−32x2+m−3x2 =34x1x2−32m(x1+x2)+32x1+m(m−3)(x1−2)x2 =34x1x2−32m⋅23m3+32(23m3−x2)+m(m−3)(x1−2)x2 =34x1x2−32x2(x1−2)x2 =34 ，故 k1k2 为定值.

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