题目

如图1，在平面直角坐标系中有长方形OABC，点 ，将长方形OABC沿AC折叠，使得点B落在点D处，CD边交x轴于点E， . （1） 求点D的坐标； （2） 如图2，在直线AC以及y轴上是否分别存在点M，N，使得△EMN的周长最小？如果存在，求出△EMN周长的最小值；如果不存在，请说明理由； （3） 点P为y轴上一动点，作直线AP交直线CD于点Q，是否存在点P使得△CPQ为等腰三角形？如果存在，请求出∠OAP的度数；如果不存在，请说明理由. 答案： 解：∵四边形AOCB是矩形， ∴OC＝AB＝4， ∵∠OAC＝30° ∴AC＝2CO＝8，AO＝ 3 CO＝4 3 ，∠CAB＝60°， ∵长方形OABC沿AC折叠，使得点B落在点D处， ∴AD＝AB＝4，∠CAD＝60°， ∴∠DAO＝30°， 如图1，过点D作DF⊥AO于F， ∵DF⊥AO，∠DAO＝30°， ∴DF＝ 12 AD＝2，AF＝ 3 DF＝2 3 ， ∴OF＝AO﹣AF＝2 3 ， ∴点D坐标（2 3 ，﹣2） 解：如图2，过点E作y轴的对称点G，过点E作AC的对称点H，连接GH交y轴于点N，与AC交于M，即△EMN的周长最小值为GH， ∵∠OAD＝30°，AD＝4，∠ADC＝90° ∴AE＝ 833 ， ∴OE＝ 433 ， ∵点G，点E关于y轴对称，点E，点H关于AC对称， ∴点G（﹣ 433 ，0），点H（ 833 ，4） ∴GH＝ (−433−833)2+(0−4)2=8 ， ∴△EMN的周长最小值为8 解：存在点P使得△CPQ为等腰三角形， ∵∠ACB＝∠ACD＝30°， ∴∠OCE＝30°， ①若CP＝CQ，如图3， ∵CP＝CQ，∠OCE＝30°， ∴∠CPQ＝75°， ∴∠OAP＝90°﹣∠CPQ＝15°， ②若PQ＝CQ时，如图4， ∵CQ＝PQ， ∴∠QPC＝∠PCQ＝30°， ∴∠OAP＝90°﹣∠CPQ＝60°； ③若CP＝PQ，如图5， ∴∠PCQ＝∠PQC＝30°， ∴∠OPA＝60°，且∠OCA＝60°， ∴不存在这样的点P， 综上，满足条件的点P存在，并且∠OAP=15º或60º.

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