题目

已知点A（0，﹣2），椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为 ，O为坐标原点． （Ⅰ）求E的方程； （Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程． 答案：解：（Ⅰ） 设F（c，0），由条件知 ，得 又 ， 所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程 x24+y2=1 ． （Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2） 将y=kx﹣2代入 x24+y2=1 ，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0， 当△=16（4k2﹣3）＞0，即 时， 从而 又点O到直线PQ的距离 ，所以△OPQ的面积 = ， 设 ，则t＞0， ， 当且仅当t=2，k=± 等号成立，且满足△＞0， 所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y= x﹣2或y=﹣ x﹣2

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