题目

已知函数. （1） 求函数的最小值； （2） 求证：. 答案： 解：因为f(x)=ex−x，所以f′(x)=ex−1，当x>0时，f′(x)>0，可知f(x)在区间(0，+∞)上单调递增， 当x<0时，f′(x)<0，可知f(x)在区间(−∞，0)上单调递减，所以当x=0时，f(x)取得最小值f(0)=1； 证明：Cn1f′(1)+Cn2f′(2)+⋯+Cnn−1f′(n−1)=Cn1(e−1)+Cn2(e2−1)+⋯+Cnn−1(en−1−1)=Cn1e+Cn2e2+⋯+Cnn−1en−1−(Cn1+Cn2+⋯+Cnn−1)=Cn1e+Cn2e2+⋯+Cnn−1en−1−(2n−2).令Tn=Cn1e+Cn2e2+⋯+Cnn−2en−2+Cnn−1en−1，则Tn=Cnn−1en−1+Cnn−2en−2+⋯++Cn2e2+Cn1e则2Tn=Cn1(e+en−1)+Cn2(e2+en−2)+⋯+Cnn−1(en−1+e)>2Cn1en2+2Cn2en2+⋯+2Cnn−1en2=2(Cn1+Cn2+⋯+Cnn−1)en2，所以Tn>(2n−2)en2.所以Cn1f′(1)+Cn2f′(2)+⋯+Cnn−1f′(n−1)>(2n−2)f′(n2)(n∈N∗，n>2).

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