题目

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与边AC交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE=∠A． （1）证明：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径R=5，tanA=，求线段CD的长． 　 答案：【考点】切线的判定． 【分析】（1）首先连接OD，由∠BDE=∠A，易得∠ODA=∠BDE，又由AB为直径，可得∠ADB=90°，继而求得∠ODE=90°，则可证得：DE是⊙O的切线． （2）在Rt△ABC中，可得tanA==，则可求得BC的长，然后由勾股定理求得AC的长，易证得△BCD∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案． 【解答】（1）证明：连接OD． ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠A． 又∵∠BDE=∠A， ∴∠ODA=∠BDE． ∵AB是⊙O直径， ∴∠ADB=90°． 即∠ODA+∠ODB=90°． ∴∠BDE+∠ODB=90°． ∴∠ODE=90°． ∴DE是⊙O的切线． （2）解：∵R=5， ∴AB=10． 在Rt△ABC中， ∵tanA==， ∴BC=AB•tanA=10×=， ∴AC==， ∵∠BDC=∠ABC=90°，∠BCD=∠ACB， ∴△BCD∽△ACB． ∴， ∴CD==． 【点评】此题考查了切线的性质与判定、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

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