题目

已知直三棱柱 中， ，E，F分别为AC和 的中点，D为棱 上的点， ． （1） 证明： ； （2） 若D为 中点，求平面 与平面DFE所成锐角的余弦值． 答案： 因为三棱柱 ABC−A1B1C1 是直三棱柱，所以 BB1⊥ 底面ABC，所以 BB1⊥AB 因为 A1B1∥AB ， BF⊥A1B1 ，所以 BF⊥AB ，又 BB1∩BF=B ，所以 AB⊥ 平面 BCC1B1 ．所以BA，BC， BB1 两两垂直．以B为坐标原点，分别以BA，BC， BB1 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图． 所以 B(0，0，0) ， A(2，0，0) ， C(0，2，0) ， B1(0，0，2) ， A1(2，0，2) ， C1(0，2，2) ， E(1，1，0) ， F(0，2，1) ．由题设 D (a，0，2)(0≤a≤2) ． 因为 BF→=(0，2，1) ， DE→=(1−a，1，−2) ，所以 BF→⋅DE→=0×(1−a)+2×1+1×(−2)=0 ，所以 BF⊥DE ． 因为D为 A1B1 中点，则 D (1，0，2) 因为 AB⊥ 平面 BB1C1C ，所以面 BB1C1C 的法向量为 n→=(1，0，0) 而 DF→=(−1，2，−1) ， DE→=(0，1，−2) 设面DEF的法向量为 m→=(x，y，z) ， {m⇀⋅DE⇀=0m⇀⋅DF⇀=0 ，即 {−x+2y−z=0y−2z=0 解得 m→=(3，2，1) ， cos<n→，m→>=1×3+0×2+0×11×32+22+12=31414 所以平面 BB1C1C 与平面DFE所成锐角的余弦值 31414 .

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