题目

已知函数f（x）= sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ+ cos（ +φ）（0＜φ＜π），其图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，且过点（ ）． （I）求ω和φ的值；（II）求函数y=f（2x），x∈[0， ]的值域． 答案：解：f（x）= 12 sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ+ 12 cos（ π2 +φ）（0＜φ＜π）， ⇔f（x）= 12 sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ﹣ 12 sinφ⇔f（x）= 12 sin2ωxcosφ+sinφ（cos2ωx﹣ 12 ）⇔f（x）= 12 sin2ωxcosφ+ 12 cos2ωxsinφ⇔f（x）= 12 sin（2ωx+φ），（I）∵图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，∴T=2π，又∵T= 2π|2ω| ，∴ω= ±12 ，图象过点（ π6，12 ），∴ 12 = 12 sin（±1× π6 +φ），解得： ϕ=π3或ϕ=2π3 ，∴f（x）= 12 sin（x+ π3 ）或f（x）= 12 sin（﹣x+ 2π3 ）；（Ⅱ）∵y=f（2x），又∵x∈[0， π2 ]，∴2x+ π3 ∈[ π3，4π3 ]，结合正弦函数的图象和性质：当 x=π2 时，y取得最大值，即 ymax=12sinπ2=12 ，当 x=4π3 时，y取得最小值，即 ymin=12sin4π3=12×(−32)=−34 ，所以函数y=f（2x），x∈[0， π2 ]的值域为 [−34，12] ．

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